Transpositionseigenschaften von Matrizen: Beweise und Beispiele

Question

a Aufgabe:
Sei $\mathbb{K}$ ein Körper und $n, m \in \mathbb{N}$. Zeigen Sie

1. $\left(A^{\top}\right)^{\top}=A$ für alle $A \in \mathbb{K}^{n \times m}$.
2. $(A+B)^{\top}=A^{\top}+B^{\top}$ für alle $A, B \in \mathbb{K}^{n \times m}$.
3. $(\alpha A)^{\top}=\alpha A^{\top}$ für alle $A \in \mathbb{K}^{n \times m}$ und $\alpha \in \mathbb{K}$.
4. $(A B)^{\top}=B^{\top} A^{\top}$ für alle $A, B \in \mathbb{K}^{n \times m}$.

Mein Ansatz für die Aufgabe ist:
1. $\operatorname{Um}\left(A^{\top}\right)^{\top}=A$ für alle $A \in \mathbb{K}^{n \times m}$ zu zeigen, betrachten wir die Definition der Transponierten einer Matrix. Wir zeigen, dass für jedes Element $a_{i j}$ in der Matrix $A$, gilt: $\left(A^{\top}\right)_{i j}^{\top}=a_{i j}$

2. Um $(A+B)^{\top}=A^{\top}+B^{\top}$ für alle $A, B \in \mathbb{K}^{n \times m}$ zu zeigen, betrachten wir die Definition der Transponierten einer Matrix und die Matrixaddition. Wir zeigen, dass für jedes Element $c_{i j}$ in der Matrix $C=A+B$, gilt: $c_{i j}^{\top}=a_{i j}^{\top}+b_{i j}^{\top}$, wobei $a_{i j}$ und $b_{i j}$ Elemente von $A$ bzw. $B$ sind.

3. Um $(\alpha A)^{\top}=\alpha A^{\top}$ für alle $A \in \mathbb{K}^{n \times m}$ und $\alpha \in \mathbb{K}$ zu zeigen, betrachten wir die Definition der Transponierten einer Matrix und die skalare Multiplikation von Matrizen. Wir zeigen, dass für jedes Element $d_{i j}$ in der Matrix $D=\alpha A$, gilt: $d_{i j}^{\top}=\alpha a_{i j}^{\top}$, wobei $a_{i j}$ ein Element von $A$ ist.

4. $\operatorname{Um}(A B)^{\top}=B^{\top} A^{\top}$ für alle $A, B \in \mathbb{K}^{n \times m}$ zu zeigen, betrachten wir die Definition der Transponierten einer Matrix und die Matrixmultiplikation. Wir zeigen, dass für jedes Element $e_{i j}$ in der Matrix $E=A B$, gilt: $e_{i j}^{\top}=\sum \limits_{k=1}^{n} b_{i k}^{\top} a_{k j}^{\top}$, wobei $a_{i j}$ und $b_{i j}$ Elemente von $A$ bzw. $B$ sind.

Comments

Ansätze sind vollkommen korrekt. Im wesentlichen muss man nur bei 4. etwas rechnen.

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Könntest du dir diesen Ansatz auch einmal anschauen(siehe meine anderen Fragen):
Lineare Abbildungen: Basen für ℝ³ und ℝ⁴ finden, die eine gegebene Matrixstruktur erfüllen
Vielen Dank