Rang einer n×n Matrix bestimmen

Question

könnt ihr mir bitte helfen?

Man bestimme den Zeilenrang der Matrix
\(\begin{array}{l} {\qquad\left(\begin{array}{ccccc} {a_{1}+a_{1}} & {a_{1}+a_{2}} & {a_{1}+a_{3}} & {\cdots} & {a_{1}+a_{n}} \\ {a_{2}+a_{1}} & {a_{2}+a_{2}} & {a_{2}+a_{3}} & {\cdots} & {a_{2}+a_{n}} \\ {a_{3}+a_{1}} & {a_{3}+a_{2}} & {a_{3}+a_{3}} & {\cdots} & {a_{2}+a_{n}} \\ {\vdots} & {\vdots} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots} \\ {a_{n}+a_{1}} & {a_{n}+a_{2}} & {a_{n}+a_{3}} & {\cdots} & {a_{n}+a_{n}} \end{array}\right)} \\ {\text { mit } a_{n} \neq a_{j} \text { für } 1 \leq i, j \leq n} \end{array} \)

Comments

Hallo

 zieh mal die erste Zeile  von allen anderen ab kannst du dann den Rang sehen?

Gruß lul

Answer 1

Wenn du von jeder Zeile (außer der ersten) die erste Zeile abziehst,

bekommst du:

\(\begin{array}{l}{\qquad\left(\begin{array}{ccccc}{a_{1}+a_{1}} & {a_{1}+a_{2}} & {a_{1}+a_{3}} & {\cdots} & {a_{1}+a_{n}} \\{a_{2}-a_{1}} & {a_{2}-a_{1}} & {a_{2}-a_{1}} & {\cdots} & {a_{2}-a_{1}} \\{a_{3}-a_{1}} & {a_{3}-a_{1}} & {a_{3}-a_{1}} & {\cdots} & {a_{3}-a_{1}} \\{\vdots} & {\vdots} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots} \\{a_{n}-a_{1}} & {a_{n}-a_{1}} & {a_{n}-a_{1}} & {\cdots} & {a_{n}-a_{1}}\end{array}\right)} \\{\text { mit } a_{n} \neq a_{j} \text { für } 1 \leq i, j \leq n}\end{array}\)

Die 2. bis zur letzten Zeile bestehen jede nur aus alles den gleichen Zahlen ( zumindest die letzte ungleich 0  wegen an≠aj )

und somit lässt sich die 2. bis zur letzten Zeile durch das Abzeihen geeigneter Vielfacher der letzen  Zeile zu

Nullen machen.

Bleiben also nur die ersten und die letzte  übrig, wobei die letzte  Zeile aus lauter gleichen Zahlen besteht

aber die erste nicht; denn insbesondere a1+a1 und a1+an sind nicht gleich, denn sonst wäre a1 = an.

Also sind die beiden keine Vielfache voneinander, also rang = 2.

Comments

Ahh, so macht man das also!!! Vielen lieben Dank, mathef!!!!!! :*