Beweisaufgabe zum Thema: Inverse von Elementar-marizen, sowie deren Schreibweise

Question

Ich will folgende Aufgabe bearbeiten, jedoch weiss ich nicht wo ich anfangen soll....

$$\text{Für } i,j\in \{1,...,n\}: i\neq j \land \lambda\in K \text{ ist definiert } P_{ij},R_{ij}(\lambda)\in \text{Mat}(n;K)\text{ durch:} \\ P_{ij}=E_n -E_{ii}-E_{jj}+E_{ij}+E_{ji} \land R_{ij}(\lambda)=E_n+\lambda E_{ij} \\[20pt]\text{ (1) Zu zeigen:} \\\text{(1.1) Matrizen } P_{ij},R_{ij}(\lambda ) \text{ sind invertierbar} \\\text{(1.2) Es gilt: } (P_{ij})^{-1}=P_{ij} \land (R_{ij}(\lambda ))^{-1}= R_{ij}(-\lambda ) \\[20pt]\text{ (2) Schreiben Sie die Matrizen } P_{ij} \land R_{ij}(\lambda ) \text{ als Produkt von Elementarmatrizen der Form:} \\ F_{kl} \land F_k(\alpha )$$

Problem/Ansatz:

Bei (1.1) wäre mein Ansatz nachdem ich mir die zweite teilaufgabe angeschaut habe. Zu zeigen, dass P und R(λ) Elementarmatrizen sind → sind deshalb invertierbar so wie in (1.2) gezeigt.

Frage wie ich soll ich es zeigen?

Bei (1.2) hätte ich vor folgende definition zu benutzen, jedoch habe ich Probleme sie anzuwenden:

$$\text{Definition von Elementar Matrizen:} \\\text{ Seien }S_{i}(\lambda ),P_{ji} \in M_{n}(K) \\S_i(\gamma ):= \{a_{kl}= \delta_{kl},(k,l) \neq(i,i)\} \lor \{a_{ii}=\gamma\} \\ P_{ji}:=\Big\{ a_{kl}= \delta_{kl},(k,l) \notin \{(i,i),(i,j),(j,i),(j,j)\}\Big\} \lor \Big\{a_{ij}=a_{ji}=1\Big\}\lor \Big\{a_{ii}=a_{jj}=0 \Big\} $$

Answer 1

$$(R_{ij}(\lambda ))^{-1}* R_{ij}(-\lambda )$$

$$=(E_n+\lambda E_{ij})*(E_n-\lambda E_{ij})$$

$$=(E_n*E_n-E_n*\lambda E_{ij}+\lambda E_{ij}*E_n-\lambda E_{ij}*\lambda E_{ij})$$

Und En ist ja das neutrale Element der Multiplikation.

$$=(E_n-\lambda E_{ij}+\lambda E_{ij}-\lambda E_{ij}*\lambda E_{ij})$$

$$=(E_n-\lambda^2 E_{ij}* E_{ij})$$

Und wegen i≠j gilt $$E_{ij}* E_{ij}=0$$

Also ist es insgesamt

$$=E_n$$

Und wenn das Produkt zweier Matrizen die Einheitsmatrix ist,

dann sind beide invertierbar und die eine ist das Inverse der

anderen.

Comments

Vielen Dank für Ihre Antwort

Wenn ich mir Ihre Methode Anschaue und sie anwende bei P kommt bei mir folgendes raus:

$$(P_{ij})^{-1}*P_{ij} \\=(E_n -E_{ii}-E_{jj}+E_{ij}+E_{ji})*(E_n -E_{ii}-E_{jj}+E_{ij}+E_{ji}) \\=E_n -E_{ii}-E_{jj}+E_{ij}+E_{ji}-E_{ii}+E_{ii}E_{ii}+E_{ii}E_{jj}-E_{ii}E_{ij}-E_{ii}E_{ji}-E_{jj}+E_{jj}E_{ii}+E_{jj}E_{jj}-E_{jj}E_{ij}-E_{jj}E_{ji}+E_{ij}-E_{ij}E_{ii}-E_{ij}E_{jj}+E_{ij}E_{ij}+E_{ij}E_{ji}+E_{ji}-E_{ji}E_{ii}-E_{ji}E_{jj}+E_{ji}E_{ij}+E_{ji}E_{ji} \\\text{wegen }i\neq j \Longrightarrow (E_{ii}E_{ii}=0) \land (E_{ii}E_{jj}=0) \land(E_{ii}E_{ij}=0) \land(E_{ii}E_{ji}=0) \land (....) \\\Longrightarrow E_n -E_{ii}-E_{jj}+E_{ij}+E_{ji}+E_{ii}+E_{jj}+E_{ij}+E_{ji}\\=E_n+2*E_{ij}+2*E_{ji} $$

Können  Sie mir sagen wo mein Fehler lag oder muss man P anders lösen?

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$$(E_n -E_{ii}-E_{jj}+E_{ij}+E_{ji})*(E_n -E_{ii}-E_{jj}+E_{ij}+E_{ji}) \\$$

$$=E_n -E_{ii}-E_{jj}+E_{ij}+E_{ji}$$

$$-E_{ii}+E_{ii}E_{ii}+E_{ii}E_{jj}-E_{ii}E_{ij}-E_{ii}E_{ji}$$

$$-E_{jj}+E_{jj}E_{ii}+E_{jj}E_{jj}-E_{jj}E_{ij}-E_{jj}E_{ji}$$

$$+E_{ij}-E_{ij}E_{ii}-E_{ij}E_{jj}+E_{ij}E_{ij}+E_{ij}E_{ji}$$

$$+E_{ji}-E_{ji}E_{ii}-E_{ji}E_{jj}+E_{ji}E_{ij}+E_{ji}E_{ji} $$

Danach stimmen ein paar Sachen nicht:

$$E_{ii}E_{ii}=0$$

ist falsch, denn wenn das i-te Elemente in einer Zeile der ersten

Matrix und das i-te Element in einer Spalte der zweiten Matrix die Einsen

sind, dann ist im Ergebnis an der der entsprechenden Stelle eine 1. Also

$$E_{ki}E_{ij}=E_{kj}$$

Rechne das vielleicht mal mit geeigneten 3x3 Matrizen nach.

Also entsteht sowas:

$$=E_n -E_{ii}-E_{jj}+E_{ij}+E_{ji}$$

$$-E_{ii}+E_{ii}+0-E_{ij}-0$$

$$-E_{jj}+0+E_{jj}-0-E_{ji}$$

$$+E_{ij}-0-E_{ij}+0+E_{ii}$$

$$+E_{ji}-E_{ji}-0+E_{jj}+0 $$

Und da hebt sich in der Tat alles weg bis auf

$$=E_n$$

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mich würde interessieren, wie der zweite Aufgabenteil:

"(2) Schreiben Sie die Matrizen als Produkt von Elementarmatrizen"

funktioniert. Ich tue mich sehr schwer, mit diesen abstrakten Aufgaben und würde mich über jeden Hinweis zur Lösung sehr freuen!