+1 Punkt
113 Aufrufe

Jedem Vektorfeld v=(v1,v2,v3) sei die Form

w1v=v1 dx+ v2 dy +v3 dz zugeordnet. Außerdem sei f: ℝ3 →ℝ eine skalare Funktion.

Nun soll ich zeigen, dass

df=w1∇f


Es ist df =∂f/(∂x) dx +∂f/(∂y) dy +∂f/(∂z) dz.

Doch wie mache ich nun weiter?

von

1 Antwort

0 Daumen

$$w^1_{\nabla f}=w^1_{\begin{pmatrix}\partial_x f \\ \partial_y f\\ \partial_z f \end{pmatrix}}=\partial_x f dx+\partial_y f dy+\partial_z f dz = df$$

von

Ok, vielen Dank.

Und wenn ich nun noch

wv2=v1 dy ∧ dz + v2 dz ∧ dx +v3 dx ∧ dy

gilt und ich zeigen soll, dass

dwv1=w∇xv2

wie mache ich das?

Es ist nicht schwer, versuchs mit der Formel für $$ /alpha = /sum_{j=1}^n v_j dx^j $$ mit v Vektorfeld, gilt dann $$ d /alpha= /sum_{j=1}^n dv_j ∧ dx^j =/sum_{i,j=1}^n /partial_i v_j dx^i ∧ dx^j $$

Ich muss ehrlich sagen, ich habe noch nicht ganz verstanden, wie ich das immer rechnen muss. Aber versuche es jetzt trotzdem mal.

dwv1= dv1∧ dx + dv2 ∧ dy +dv3  ∧ dz

= (∂v3/∂y - ∂v2/∂z) dy Λ dz + (∂v1/∂z - ∂v3/∂x) dz Λ dx + (∂v2/∂x - ∂v1/∂y) dx Λ dy


Stimmt das so? Und wenn ja wie geht es weiter?

Ja, das müsste meiner Meinung nach passen und du bist auch schon fast fertig und erhältst

(∂yv3/- ∂zv2) dy Λ dz + (∂zv1 - ∂xv3) dz Λ dx + (∂xv2 - ∂yv1) dx Λ dy= w2∇xv

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community
...