Lineare Algebra (I). Nachrechnen, dass die 2x2-Matrizen niemals ähnlich sind.

Question

. Sei K ein Körper und λ, µ, α drei Skalare. Rechnen Sie explizit
nach, dass die 2 × 2-Matrizen
D =

λ 0
0 µ

und J =

α 0
1 α

niemals ähnlich sind

Answer 1

die Matrizen D und J wären ähnlich,  wenn es eine Matrix

⎡ x  y ⎤    =  M   gäbe mit     J = M^-1 * D  * M

⎣ z  w ⎦

Es gilt aber

(vgl. unten #)

⎡ x  y  ⎤-1  *   ⎡ λ  0 ⎤   *  ⎡ x   y ⎤    =

⎣ z  w ⎦          ⎣ 0  μ ⎦      ⎣ z  w ⎦

⎡ (w·λ·x - μ·y·z)/(w·x - y·z)           w·y·(λ - μ)/(w·x - y·z)     ⎤      =_?      ⎡ α   0 ⎤

⎣  x·z·(μ - λ)/(w·x - y·z),             (w·μ·x - λ·y·z)/(w·x - y·z)  ⎦                ⎣ 1   α ⎦

Dann müsste  λ ≠ μ  und damit  w = 0  oder  y = 0 gelten.

Einsetzen von w=0  ergibt    ⎡    μ               0 ⎤
                                             ⎣ x·(λ - μ)/y     λ ⎦

Einsetzen von y=0  ergibt     ⎡     λ                0 ⎤
                                             ⎣ z·(μ -λ)/w       μ ⎦

Jeweils mit verschiedenen  Einträgen auf der Hauptdiagonalen.

--------------

(#)  Nachtrag:

  \( \color{green}{A^{-1}} = \begin{pmatrix} a&b\\ c&d\end{pmatrix}^{-1}= \frac{1}{det(A)} · \begin{pmatrix} d&-b\\ -c&a\end{pmatrix} =  \frac{1}{ad-cb } · \begin{pmatrix} d&-b\\ -c&a\end{pmatrix} \)

Gruß Wolfgang