Mit Differenzenquotient eine bestimmte Stelle bestimmen

Question

Gegeben:

f(x): x⁴ an der Stelle x0=2 mithilfe des Differenzenquotienten

Hänge seit knapp einer Stunde an dieser vermeintlich einfachen Aufgabe ran. Komme überhaupt nicht mehr weiter. Mit f(x) = x² war es ja noch einfach, aber diese Aufgabe...

Answer 1

f(x) = x⁴

f'(x) = lim (h → 0) (f(x + h) - f(x)) / h

f'(x) = lim (h → 0) ((x + h)⁴ - (x)⁴) / h

Benutze den Binomischen Satz: (a + b)⁴ = a⁴ + 4·a³·b + 6·a²·b² + 4·a·b³ + b⁴

f'(x) = lim (h → 0) (x⁴ + 4·x³·h + 6·x²·h² + 4·x·h³ + h⁴ - x⁴) / h

f'(x) = lim (h → 0) (4·x³·h + 6·x²·h² + 4·x·h³ + h⁴) / h

f'(x) = lim (h → 0) 4·x³ + 6·x²·h + 4·x·h² + h³ = 4·x³

f'(2) = 4·2³ = 32

Comments

f'(x) = lim (h → 0) 4·x3 + 6·x2·h + 4·x·h2 + h3 = 4·x3

Warum hier gleich 4x³ ??

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Weil alle Terme in denen h als Faktor steht 0 werden, wenn h gegen Null geht.

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Ach. Macht Sinn. Vielen vielen Dank!!