Dichte und Verteilungsfunktion der Zufallsvariable Y = −ln(X) bestimmen

Question

Problem

Ich verstehe nicht wie man auf das Resultat der Dichte in der Lösung kommt.
$$4 e ^ { - 4 y }$$ Muss man da irgendwie nochmals ableiten oder integrieren?

Aufgabe

Betrachten Sie eine Zufallsvariable X mit der Dichtefunktion

$$f _ { X } : \mathbb { R } \longrightarrow [ 0 , \infty )$$ $$x \mapsto f _ { X } ( x ) = \left\{ \begin{array} { c c } { 4 x ^ { 3 } } & { \text { falls } 0 < x < 1 } \\ { 0 } & { \text { sonst } } \end{array} \right.$$

Bestimmen Sie die Dichte fY und die Verteilungsfunktion FY der Zufallsvariable Y = −ln(X).

Lösung

Mit der monoton fallenden Funktion

$$\begin{array} { l } { r : ( 0,1 ) \longrightarrow ( 0 , \infty ) } \\ { x \mapsto r ( x ) = - \ln ( x ) } \end{array}$$

und deren inversen Funktion $$s ( y ) = e ^ { - y }$$ mit der Ableitung $$s ^ { \prime } ( y ) = - e ^ { - y }$$ erhalten wir für die Zufallsvariable Y = −ln (X) die Dichte

$$f _ { Y } ( y ) = \left\{ \begin{array} { c c } { 4 e ^ { - 4 y } } & { \text { falls } 0 < y } \\ { 0 } & { \text { sonst } } \end{array} \right.$$

Answer 1

Hallo noslon, wenn man in f(x) = 4 x^3 einsetzt x = e^(-y), dann kommt man auf f(y) = 4 e^(-3y).  Siehe mein Bild.  Allerdings ist ein Balken im Graphen von f(y) dy breit, also um den Faktor e^y breiter als dx im Graphen von f(x).  Damit für y dieselbe Wahrscheinlichkeit herauskommt wie für das korrespondierende x, muss daher f(y) durch e^y geteilt werden.  Macht f(y) = 4 e^(-4y).  Machen wir die Probe.  Integral von 0 bis 1 über f(x) gibt 1.  Integral von 0 bis unendlich über f(y) gibt ebenfalls 1.