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Aufgabe:


\( \begin{array} { c } { \text { Sei \( \equiv \) die Relation auf } \mathbb { Z } \text { definiert durch } } \\ { \forall x , y \in \mathbb { Z } : ( x \equiv y : \Leftrightarrow x - y \text { ist gerade } ) } \end{array} \)
 

Problem/Ansatz:

Ich habe gezeigt dasses eine Äquivalenzrelation ist, aber ich wollte prüfen ob es noch andere Eigenschaften wie zum Beispiel 

total:⇔ ∀a,b ∈ ℤ ⇔ aRb ∨ bRa

erfüllt.

Eine Relation R ist ja eine Teilmenge des Kartesischen Produkts, in diesem Fall ist R ⊂ ℤ×ℤ.

Ich finde tatsächlich geordnete Zahlenpaare, für die die Totalität stimmt. 

Ein Beispiel: 

a=2, b=4

2-4 / 2 = m1
-2/2 = m1
-2 = m1 * 2

Dann muss aber auch folgendes gelten: 

4-2 / 2 = m2
2/2 = m2
2 = m2 * 2

Nur das Vorzeichen des m1 = (-1)  wurde zu m2= (+1)  geändert. 

Problem 2:
Ich finde aber auch ein Beispiel, das nicht stimmt. 

a = -1 
b = -2
ergibt geordnetes Zahlenpaar (-1, -2) was in ℤ×ℤ ist. 

Aber: 

-1 - (-2) / 2 = m3
-1 + 2 / 2 = m3
1/2 = m3 ⇒ m3 ∉ ℤ. 

Dasselbe mit (bRa).  

-2 - -1 / 2 = m4
-2 + 1 / 2 = m4 
-1 / 2 = m4 ⇒ m4 ∉ ℤ.


Frage:

Es gibt Zahlenpaare für die ist die Aussage der Totalität wahr, 
es gibt aber auch Zahlenpaare für die ist die Aussage der Totalität falsch. 

Ist es jetzt eine Relation oder nicht ? 

Ich habe ganz generell Schwierigkeiten mit dem weil ich weiss dass R eine Teilmenge ist, aber weil das für alle a,b stimmen muss, bin ich mir nie ganz sicher ob es letzendendes eine Forderung der Relation erfüllt oder nicht. 

Ich hatte zb heute den Fehler gemacht und x-y I ist ungerade als reflexiv anerkannt, weil x-x = 0 und 0 ist teilbar durch 2k+1. 
Aber der Übungsleiter meinte dass gilt x-x = 0 und 0 ist teilbar durch 2 und die Reflexivität somit für x-y ist ungerade nicht gilt. 







von

1 Antwort

+1 Punkt
Ich finde aber auch ein Beispiel, das nicht stimmt. 

Und das ist der Grund warum die Relation nicht total ist.

Es gibt Zahlenpaare für die ist die Aussage der Totalität wahr, 

Die Aussage der Totalität ist ∀a,b ∈ ℤ : aRb ∨ bRa.

Da heißt aRb ∨ bRa muss ∀a,b ∈ ℤ gelten, und nicht nur für einzelne.

von 40 k  –  ❤ Bedanken per Paypal

Achso, super.

Das heisst also, wenn ich ein einziges Beispiel finde, das nicht stimmt, ist eine Aussage

reflexivität
symmetrie
antisymmetrie
transitivität
totalität


nicht wahr und somit nicht gegeben? 

Beispiel 

x-y ist gerade auf Z.

Reflexivität:

x-x/2 = 0/2 wahr,
und das stimmt mit jeder Zahl weil es existiert kein Zahlenpaar (x,x) für das diese Aussage nicht stimmt. 
⇒ Reflexivität gegeben. 


Symmetrie:
x-y / 2 = k1 wobei k1 in Z liegen muss. 
x-y = 2*k1
x= 2 und y = 1 ergibt das Zahlenpaar (2,1) 
2-1 = 2*k1
1 = 2*k1
1/2 = k1 und k1 ∉ Z. 
Also existiert ein Zahlenpaar für das die Aussage der Symmetrie nicht stimmt, 
ist es deswegen nicht symmetrisch? 

Und ist deswegen die Relation keine Äquivalenzrelation ? 







Das heisst also, wenn ich ein einziges Beispiel finde, das nicht stimmt, ist eine Aussage ... nicht wahr und somit nicht gegeben?

Das ist richtig. Die angegebenen Eigenschaften sind All-Aussagen. Es reicht also ein einziges Gegenbeispiel um der Relation die Eigenschaft abzusprechen.

x= 2 und y = 1 ergibt das Zahlenpaar (2,1)

Symmetrie bedeutet:

    Für alle a,b∈ℤ gilt: wenn a ≡ b ist, dann ist b ≡ a.

Die Aussage

        wenn 2 ≡ 1 ist, dann ist 1 ≡ 2

ist wahr, weil die Prämisse 2 ≡ 1 falsch ist. Das Beispiel (2,1) ist also nicht dazu geeignet, Symmetrie zu verneinen.

Was heisst dass die Prämisse 2Ξ1 falsch ist ?

In der Aussage

        Wenn A gilt, dann gilt B

heißt A Prämisse und B Konklusion. In

        wenn 2 ≡ 1 ist, dann ist 1 ≡ 2

ist also 2 ≡ 1 die Prämisse und 1 ≡ 2 die Konklusion.

Hier ist die Wahrheitstabelle für Aussagen der Form "Wenn A gilt, dann gilt B":

A
B
Wenn A, dann B
falsch
falsch
wahr
falsch
wahr
wahr
wahr
falsch
falsch
wahr
wahr
wahr

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