Funktion auf Symmetrie, Polstellen, Asymptoten, Nullstellen, Extrema und Wendepunkte untersuchen

Question

Aufgabe:

$$ f(x) = \frac{2x^3+5}{3x^2} $$

Ist f(x) symmetrisch? Hat es Polstellen, Asymptoten, Nullstellen, Extrema und Wendepunkte? Falls ja, wo?

Problem/Ansatz:

Symmetrie, weiss ich zur Zeit nur zum Ursprung und zur <-Achse, aber nicht zu Punkt (x/y)

Polstellen: $$3x^2 = 0 $$ und dann nach x auflösen?

Nullstellen: $$2x^3 + 5 = 0 $$?

Wendepunkte: die zweite Ableitung gleich null?

Answer 1

Asymptote ist der ganzrationale Teil bei einer Polynomdivision.

Symmetrie, weiss ich zur Zeit nur zum Ursprung und zur <-Achse, aber nicht zu Punkt (x/y)

Vielleicht wird's gar nicht so schlimm wie du befürchtest. Wenn eine Symmetrie an der Stelle x vorliegt, dann müssen insbesondere auch die Definitionslücken symmetrisch um x verteilt sein.

Polstellen: 3x²=0 und dann nach x auflösen?

Das ist ein guter Anfang. Du musst aber noch ausschließen, dass es sich um eine stetig hebbare Definitionslücke handelt.

Nullstellen: 2x³+5=0?

Das ist ein guter Anfang. Du musst aber noch sicherstellen, dass das Ergebnis im Definitionsbereich liegt.

Wendepunkte: die zweite Ableitung gleich null?

Das ist ein guter Anfang. Das ist aber nicht hinreichend. Du musst aber noch mit einem hinreichenden Kriterium sicherstellen, dass die Nullstelle der zweiten Ableitung feststellen tatsächlich eine Wendestelle ist.

Comments

Vielen Dank!

Ich bin immer noch an der Symmetrie, kannst du kurz meinen Lösungsweg anschauen:

Achsensymmetrie zur y-Achse:
f(-x) = f(x) → -2 = 2 -->keine Achsensymmetrie zur Y-Achse

Punktsymmetrie zum Ursprung:

-f(x) = f(-x) → -2x^3 -5 = -2y^3 +5 → 5 = -5 -->keine PUnktsymmetrie?

---

keine Achsensymmetrie zur Y-Achse

Du hast Recht.

f(-x) = f(x)

Das ist, was Achsensymmetrie zur Y-Achse bedeutet

→ -2 = 2

Es ist nicht ersichtlich, was du hier gemacht hast.

keine PUnktsymmetrie

Du hast Recht.

-f(x) = f(-x)

Das ist, was Punktsymmetrie zum Ursprung bedeutet.

→ -2x³ -5 = -2y³ +5 → 5 = -5

Es ist nicht ersichtlich, was du hier gemacht hast.