Kurvenschar; Nullstellen, Extrema, Wendepunkte

Question

Ich muss von dem Kurvenschar f(x)= -ax^3+3x^2, a>0 die Nullestellen, Extrema und Wendepunkte ausrechenen. Lieder scheitere ich beim Versuch dies zu tun kläglich deshalb hoffe ich das mir jemand mit detaillierten rechenwegen und Ergebnissen helfen kann. .

Comments

-ax^3+3x^2 für a> 0

Nullstellen:

-ax^3+3x^2 = 0            // x^2 ausklammern

x^2(-ax+3) = 0             // enweder im klammer ist 0 oder ausserhalb klammer ist 0

Fall1:

x^2 = 0 -> x1 = 0 x2 = 0 -> Doppelte Nullstellen

Fall2:

-ax +3 = 0  -> x3 = 3/a

Lösung Nullstellen:

x1 = x2 = 0

x3 = 3/a -> jenachdem was man für a einsetzt.

weitere antwort folgt

Answer 1

Funktion und Ableitungen

fa(x) = -a·x^3 + 3·x^2 mit a > 0

fa'(x) = -3·a·x^2 + 6·x

fa''(x) = -6·a·x + 6

Symmetrie

Keine untersuchte Symmetrie

Verhalten im Unendlichen

lim (x → -∞) fa(x) = ∞

lim (x → ∞) fa(x) = -∞

Nullstellen fa(x) = 0

-a·x^3 + 3·x^2 = x^2·(3 - a·x) = 0

x = 0 (doppelte Nullstelle --> Extrempunkt)

x = 3/a

Extrempunkte fa'(x) = 0

-3·a·x^2 + 6·x = 3·x·(2 - a·x) = 0

x = 0

x = 2/a

fa(0) = 0 --> TP(0 | 0)

fa(2/a) = 4/a^2 --> HP(2/a | 4/a^2)

Wendepunkte fa''(x) = 0

-6·a·x + 6 = 0

x = 1/a

fa(1/a) = 2/a^2 --> WP(1/a | 2/a^2)