Konvergenz mit Epsilonkriterium beweisen

Question

Aufgabe:

$$(-1)^n \frac{2n}{n²-1}$$

Problem/Ansatz:

für die oben genannten Term soll ich den Grenzwert bestimmen und mit dem Epsilon-Kriterium beweisen, dass der Term konvergiert.

Den Grenzwert zu bestimmen ist nicht das Problem, dieser ist für lim n->∞  0, was dann eingesetzt im Epsilon-Kriterium folgendes ergibt:

$$|(-1)^n \frac{2n}{n²-1}-0|<\varepsilon$$

jetzt beginnt für mich das Problem, muss ich die Gleichung vereinfachen und zu n auflösen?

Oder muss ich erst ein N und $$\varepsilon$$ bestimmen?

Mit freundlichen Grüßen

xJulzx

Answer 1

Z.B. so: Für n > 1 gilt$$\left\vert(-1)^n\frac{2n}{n^2-1}-0\right\vert=\frac{2n}{n^2-1}=\frac{4n}{n^2+(n^2-2)}<\frac{4n}{n^2}=\frac4n,$$und das soll kleiner als \(\varepsilon\) sein. Das gilt für alle \(n>\frac4\varepsilon\).

Comments

Erstmal danke für die Erklärung, wie es prinzipiell ablaufen muss habe ich jetzt verstanden. Allerdings ist mir der Schritt von $$\frac{2n}{(n²-1)}$$  zu $$\frac{4n}{(n²+(n²-2)} < \frac{4n}{n²}$$ nicht klar. Ich nehme an Sie haben hier erweitern? Und wie kommt $$\frac{4n}{n²}$$ plötzlich auf die andere Seite der Ungleichung? Wäre die Rechnung genauso, für beispielsweise n>3 ?

---

Ich habe mit 2 erweitert und dann den Nenner durch \(2n^2-2>n^2\) abgeschätzt um dadurch den gesamten Bruch zu vergrößern.

Answer 2

muss ich die Gleichung vereinfachen und zu n auflösen?

Ja.

Oder muss ich erst ein N und ε bestimmen?

Ein ε zu bestimmen hilft nicht, weil |a_n - a| < ε ja für jedes ε>0 gelten muss.

|a_n - a| < ε muss aber nicht für jedes n gelten, sondern nur für die n, die größer als ein bestimmtes N sind. und dieses N musst du bestimmen. Das machst du, indem du ...

muss ich die Gleichung vereinfachen und zu n auflösen?

... genau so.

Comments

Alles klar, vielen Dank. Vereinfachen würde ich sie erstmal zu $$\frac{2n}{(n+1)*(n-1)}$$ und den ganzen Bruch mit $$-1^{n}$$ multiplizieren und ab da weiß ich schon nicht mehr weiter :/

---

\((-1)^n = \begin{cases}1&n \text{ gerade}\\-1&n \text{ ungerade}\end{cases}\)

Multiplikation mit (-1)ⁿ hat also nur Einfluss auf das Vorzeichen. Weil du sowieso den Betrag betrachtest, fällt die Multiplikation mit (-1)ⁿ weg.

Die weiteren Umformungsschritte siehst du bei Spacko. Vom zweiten zum dritten Term wurde mit 2 erweitert. Grund dafür ist, dass dann der Umformungsschritt vom dritten zum vierten Term durchgeführt werden darf.