Konvergenz einer folge mit Epsilon-n_0 Kriterium beweisen. Folge (an) := √(n) - √(n-1)

Question

Folge (a_n) := √(n) - √(n-1)

Folge konvergent Vermutung Grenzwert liegt bei Null

meine antwort siehe bild

ist das richtig gerechnet ich hoffe mal das wenigstens der lösungsweg stimmt? kann es sein dass man 2 möglichkeiten hat und zwar erst das n0 bestimmen oder zuerst n ?

Comments

$$\text{Tipp: }\sqrt n-\sqrt{n-1}=\frac1{\sqrt n+\sqrt{n-1}}<\frac1{2\sqrt{n-1}}.$$

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sieht es dann so aus?
mit n ₀ > 1/(4 ε ²) +1

$$ | \sqrt n-\sqrt{n-1} -0 | =  \sqrt n-\sqrt{n-1} = \frac1{\sqrt n+\sqrt{n-1}}< \frac1{2\sqrt{n-1}} \leq \frac1{2\sqrt{{ n }_{ 0 }}-1} = \frac { 1 }{ 2 \sqrt { \frac { 1 }{ 4{ \varepsilon }^{ 2 } } + 1 - 1} } = \frac { 1 }{ 2 * \frac { 1 }{ 2\varepsilon} } = \varepsilon  $$

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Abgesehen davon, dass die -1 noch unter die vorletzte Wurzel gehört, ist das korrekt.

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danke!! bei der aufgabe (siehe unten) muss man da auch so vorgehen? falls ja ich finde da nichts was ich verwenden kann...  kann man in so einem fall das n ₀ etwas vergrößern ?

zB : n₀ > ((ε ⁴ + 1 )  / 4 ε ² ) + 1/2 --->  n _{0 >} ((ε ⁴ + 1 )  / 4 ε ² ) + 1   , ?  

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Das Vorgehen bei der zweiten Aufgabe ist ähnlich. Allerdings ist dein vermuteter Grenzwert falsch. Richtig ist \(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\frac12\).

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komme nicht  weiter... : (

$$ \frac { (\sqrt { { n }^{ 2 } + n} - n) * (\sqrt { { n }^{ 2 } + n} + n) }{ (\sqrt { { n }^{ 2 } + n} + n) } = \frac {( \sqrt { { n }^{ 2 } + n}*{\sqrt { { n }^{ 2 } + n})} - (n*n) } { (\sqrt { { n }^{ 2 } + n} + n) } = { \frac { n }{ \sqrt { { n }^{ 2 } + n} + n) } } \\ | { \frac { n }{\sqrt { { n }^{ 2 } + n} + n } } - \frac { 1 }{ 2 } | = { \frac { n }{\sqrt { { n }^{ 2 } + n} + n } } - \frac { 1 }{ 2 } \\ = { \frac { n }{ 2 \sqrt { { n }^{ 2 }  + n } } - \frac { 1 }{ 2 } } $$

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Besser vielleicht so:$$\vert a_n-\tfrac12\vert=\left\vert\sqrt{n^2+n}-(n+\tfrac12)\right\vert=\left\vert\frac{(n^2+n)-(n+\tfrac12)^2}{\sqrt{n^2+n}+(n+\tfrac12)}\right\vert$$$$\qquad\qquad=\frac1{4n+4\sqrt{n^2+n}+2}<\frac1{8n+2}.$$

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danke!: ) wie kommt man auf so eine abschätzung womit man dann auch rechnen kann?

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Das hängt wohl immer vom konkreten Fall ab. Allgemeingültige Methoden gibt es dafür meines Wissens nicht.

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ich wollte das mal versuchen wäre das eine gültige abschätzung :
$$ { \frac { n }{ 2 \sqrt { { n }^{ 2 }  + n } } - \frac { 1 }{ 2 } } = \frac { 1 }{ 2 } \left(  \frac { n }{ \sqrt { { n }^{ 2 }  + n }} -1  \right)  < \frac { n }{ \sqrt { { n }^{ 2 }  + n }} $$

: ))

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oh.... dass habe ich falsch geschrieben ich wollte schreiben:

( 1 / ( 2 √(n² + 1)) + 1

Answer 1

im Hinblick, dass \(\varepsilon\) immer sehr nahe bei 0 liegt, gilt \( {1\over\varepsilon} \gg \varepsilon\).

Warum machst Du es nicht mit der Umformung nach der 3. binom. F.

$$ a-b = {a^2-b^2 \over a+b} $$

d.h.

$$ \sqrt{n}-\sqrt{n-1} =  {(n)-(n-1) \over \sqrt{n}+\sqrt{n-1}} $$

Grüße,

M.B.

Comments

Da bekomme ich raus:

1/(√(n₀) + √(n₀ -1)) < ε

n₀ > ((ε ⁴ + 1 )  / 4 ε ² ) + 1/2 ist das falsch kommt mir irgendwie so vor ?

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Ich habe noch eine zweite Aufgabe dazu ist das besser? Bei der da oben komme ich nicht weiter : (

Aber da sind bestimmt auch fehler drin :

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Hallo

musst Du das mit \(\varepsilon\) so machen?

(Im Studium lernst Du viel, was für die Theorie und das Verständnis wichtig ist, aber jedem, der das auch in der Praxis anwendet, sollte man sehr deutlich aufs Hirn schlagen.)

Der Grenzwert von Differenzen ist oft problematisch, weil Du zu Ausdrücken der Art \( \infty-\infty \) kommst, und die sind ohne weitere Untersuchungen nicht bestimmbar.

Also formt man nach der 3. binom. F. um, dann hat man Ausdrücke der Form \( \infty+\infty \) was wesentlich leichter ist.

Deine erste Aufgabe führt zu

$$ \sqrt{n}-\sqrt{n-1} =  {(n)-(n-1) \over \sqrt{n}+\sqrt{n-1}} = {1 \over \infty+\infty} $$

und hier sollte wohl klar sein, was passiert.

Deine andere Aufgabe kannst Du ebenso umformen, und statt seiternweise Mist hinzuschreiben, bis Du in einer einzigen Zeile fertig.

Grüße,

M.B.

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ja ich habe den grenzwert auch ausgrechnet vorher, aber es steht da man soll die konvergenz beweisen und dann den grenzwert berechnen.