Ansonsten mit Substitution:
\(\displaystyle\int x\sqrt{x+3}\:dx\) substituiere u=x+3
\(=\displaystyle\int(u-3)\sqrt{u}\: du\) Durch ausmultiplizieren erhältst du
\(=\displaystyle\int (u^{3/2}-3\sqrt{u})\:du\) Die Summen / Konstanten kannst du vorziehen
\(=\displaystyle\int u^{3/2}\: du -3 \displaystyle\int \sqrt{u}\: du\) Das Integral von \(u^{3/2}\) ist \(\dfrac{2u^{5/2}}{5}\), also
\(=\dfrac{2u^{5/2}}{5}-3\displaystyle\int \sqrt{u}\: du\) Das Integral von \(\sqrt{u}\) ist \(\dfrac{2u^{3/2}}{3}\) u. vereinfachen mit -3
\(=\dfrac{2u^{5/2}}{5}-2u^{3/2} +C\) Rücksubstituieren
\(=\dfrac{2}{5}(x+3)^{5/2}-2(x+3)^{3/2}+C\)
