Aloha :)
Du hast es hier mit einem wichtigen Standard-Integral zu tun. Wenn man das nicht auswendig weiß, ist es etwas fummelig herzuleiten:$$\int\frac{1}{1+x^2}dx=\arctan(x)+\text{const}$$Am besten lernst du das auswendig.
In deinem Fall$$I=\int\limits\frac{1}{(4x+4)^2+1}dx$$führt die Substitution$$u\coloneqq4x+4\quad\implies\quad\frac{du}{dx}=4\implies dx=\frac{du}{4}$$dann schnell zum Ziel:$$I=\int\frac{1}{u^2+1}\,\frac{du}{4}=\frac14\int\frac{1}{1+u^2}du=\frac14\arctan(u)+\text{const}=\frac14\arctan(4x+4)+\text{const}$$
