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Aufgabe:

Sei die Matrix A = \( \begin{pmatrix} 2 & 6 & 20\\ 0 & 3 & 9 \\ 2 & 4 & 14 \end{pmatrix} \)

gegeben. Berechnen Sie den Kern von A.

Welche Dimension hat das Bild von A?
Problem/Ansatz:

Ich habe folgendes berechnet:

(2  6  20

0  3  9

2  4  14) III - I

(2  6  20

0  3  9

0  4  14) 3*III - 4*II

(2  6  20

0  3  9

0  0  6)

Ich bin aber noch nicht ganz sicher, ob diese Vorgehensweise richtig ist, weil da steht ja dass man den Kern von A berechnen soll.

Soweit ich weiß ist ja die Formel A*v=0, dann würde es ja heißen, wenn gleich den Nullvektor ergibt, gibt es einen Kern.

Aber durch meine Berechnung war mir nicht sicher, selbst die Determinante habe berechnet und da kam |A| = \( \begin{pmatrix} 2 & 6 & 20 \\ 0 & 3 & 9 \\ 2 & 4 & 14 \end{pmatrix} \) = 48.

Soweit ich weiß, wenn die Determinante ungleich 0 ist hat es auch keinen Kern, aber beinhaltet den Nullvektor selbst.

Würde mir jemand erklären wie ich die Dimension des Bild von A bestimmen kann?

Vielen Dank  :)

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1 Antwort

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Hallo

 deine erste Umformung ist falsch: III-I ergibt die Zeile 0 -2 -6

auch die Determinante ist falsch, sie ist 0.

 damit bekommst du dann den richtigen Kern   mit dim(kern)=1 worauf man direkt auf dim (Bild)=2 schließen kann.(warum?)

Gruß lul

Avatar von 106 k 🚀

Okay dass hatte ich auch  0 -2 -6 am Anfang gehabt, aber eine Kommilitonin hat mich verunsichert, weil sie was anderes raus hatte(das oben genannte).

Was ich immer noch nicht verstanden habe ist, wie kamst du jetzt auf Bild = 2?

Ich bin mir auch nicht sicher wie Siegfried, aber ich habe das LGS weiter umformen lassen. (Da gibt es auch einen guten Online-Rechner dazu: http://www.math.odu.edu/~bogacki/cgi-bin/lat.cgi)

Am Ende steht dort:

1 0 0

0 1 3

0 0 0

Es gibt also zwei Vektoren, die sich nicht als Nullzeile darstellen lassen => zwei linear unabhängige Vektoren => Bild = 2

Hallo

 eigentlich sollte man den Dimensionssatz kennen , sonst siehe : https://de.wikipedia.org/wiki/Rangsatz

dim(kern)+dim(Bild)=dim(V) also dim des Vektorraums in dem A die lineare Abb. ist.

natürlich kann man auch einfach das Bild bestimmen und daraus die dim sehen.

Gruß lul

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