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Hallo:) Ich habe die Lösung zu einer Aufgabe, nur ich versteh leider nicht wie man darauf gekommen ist. Wär super wenn mir das jemand erklären könnte.

Die Sprossen einer in beiden Richtungen unendlichen Leiter seien mit den ganzen Zahlen nummeriert. Ein Frosch sitze anfangs auf Sprosse 0. Nun steigt er an allen Tagen, an denen er gut gelaunt ist, eine Sprosse hoch, an den anderen Tagen eine Sprosse hinab (am Tag 1 bewegt er sich bereits). Die Laune des Froschs am Tag n werde durch unabhängige Zufallsvariablen Xn ∼ Bin(1,p) beschrieben: Xn = 1 bedeute ” gute Laune“. Geben Sie an, wie sich aus den Xn die folgenden Zufallsvariablen ergeben und berechnen Sie jeweils Erwartungswert und Varianz:

 a) Yn mit Werten ±1 gebe die Höhenveränderung im Tag n an

#Lösung:

E(Yn) = 2*E(X) -1 /wobei E(X)=p

           =2p-1

V(Yn)= V(2Xn-1) = 4V(Xn)=4p(1-p)

b) Zn mit Werten aus Z gebe die Sprosse an, die er am Tag n erreicht. Bestimmen Sie αn > 0 und βn so, dass Un := αn(Zn−βn) Erwartungswert 0 und Varianz 1 hat.

#Lösung

V(Zn) = 4p(1-p)

Zn= \( \sum\limits_{k=1}^{n}{Yk} \)

E(Zn) = n (2p-1)

V(Un) = V(αn(Zn−βn)) = 1

               αn2 * V(Zn) = 1

                  αn = \( \frac{1}{\sqrt{V(Zn)}} \)

E(Un) = E (αn(Zn−βn)) = 0

              αnE(Zn)- αn βn = 0

               \( \frac{1}{\sqrt{V(Zn)}} \) E(Zn) -  \( \frac{1}{\sqrt{V(Zn)}} \) * βn = 0  --> βn = E(Zn)

Un = \( \frac{Zn - n(2p-1)}{2\sqrt{n*p*(1-p)}} \)

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