Hilfe beim Lösen einer AWA mittels implizitem Euler und Newtonverfahren?

Question

Ich lerne gerade für eine Klausur und bin über folgende Aufgabe gestolpert:

Aufgabe:

u'(t)=t - u(t)^2   u(0) = 1

Lösen Sie diese Anfangswertaufgabe mithilfe des impliziten Euler-Verfahrens. Wie könnte man die Aufgabe mit dem Newtonverfahren beim Iterieren mit dem implitziten Eulerverfahren lösen?

Zum einen habe ich Schwierigkeiten mit dem Anwenden des impliziten Eulerverfahrens (trotz zahlreicher Google-Durchgänge), zum anderen weiß ich nicht so recht, wie ich das Newtonverfahren mit reinbringen soll.

Wäre sehr dankbar um einen Tipp!

Comments

Hallo SiverA,

hast Du noch Interesse an der Frage? Zum Thema 'Newton-Verfahren in diesem Kontext' ist mir noch was eingefallen ...

Answer 1

Hallo

 beim impliziten Verfahren hast du ja eine Gleichung  mit y_n+1=y_n+h*f(_yn+1,_xn+1) da du y_n+1 suchst, suchst du eine Nullstelle, und das tut man meist mit Newton.

die Formeln stehen im Netz, also rechne einfach los.

Gruß lul

Answer 2

Hallo SilverA,

beim impliziten Eulerverfahren musst Du folgende Gleichung nach \(u_{k+1}\) auflösen: $$u_{k+1} = u_k + h \cdot u'(t_{k+1}, u_{k+1})$$ \(h\) ist das Delta um das \(t\) mit jedem Schritt vergrößert wird. Der Ausdruck \(u_{k+1}\) kommt zweimal vor, ist also nur implizit gegeben. Daher der Name.

In Deinem Fall ist das: $$u_{k+1} = u_k + h \cdot (t_{k+1} - u_{k+1}^2) \\ \implies u_{k+1(1,2)} = \frac 1{2h}\left( -1 \pm \sqrt{1 + 4h(u_k + h t_{k+1})}\right)$$wenn man das nicht 'geschlossen' lösen könnte, dann wäre das Newton-Verfahren von Nöten. Ist hier aber nicht der Fall, da es 'nur' eine Quadratische Gleichung ist.

Ich habe das für ein \(h=0,1\) (blau) und ein \(h=0,025\) (orange) im Intervall \(t=[0;2]\) durchgerechnet. Die beiden Kurven zeigen das Ergebnis:

Gruß Werner

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