Stammfunktionen und ihre Ableitung. Warum stimmt das?

Question

A) Gilt f strich=g, dann ist f eine Stammfunktion von g? ( sollte es nicht umgekehrt sein)

B)Ist f eine stammfunktion von g, dann ist auch f+c eine stammfunktion von g.

Warum stimmen diese Aussagen?

Answer 1

Zu a)

Laut Definition heißt eine differenzierbare (ableitbare) Funktion F(x) eine Stammfunktion von f(x), wenn $F'(x)=f(x)$ gilt.

Im Übrigen ist jedes unbestimmte Integral $I(x)=\displaystyle\int\limits_a^x f(x) \,dx$ einer stetigen Funktion $f(x)$ eine Stammfunktion von dieser. (Wenn eine Funktion auf [a,b] stetig ist, ist sie also auch dort integrierbar. → $I(x)$ ist aufgrund von $I'(x)=f(x)$ eine stetig differzierbare Funktion).

Es gilt also auch hier $I(x)=\displaystyle\int\limits_a^x f(x) \,dx \Rightarrow I'(x) = f(x)$.

Zu b)

Jede Funktion besitzt unendlich viele Stammfunktionen, die sich durch die additive Konstante (meist C) unterscheiden.

Daher lässt sich jedes unbestimmte Integral auch folgendermaßen darstellen:

$I(x)=\displaystyle\int\limits_a^x f(x) \,dx=F(x)+C_1\; \; \; (C_1 \in \mathbb{R})$

Da es eine Konstante ist, entfällt diese beim Differenzieren natürlich wieder, denn

$\dfrac{d}{dx}[C]=0,\;C\in \mathbb{R}$

Answer 2

f '=g Dann ist

∫f '(x) dx=∫g(x) dx oder f(x)=∫g(x)dx

Das unbestimmte integral von g(x) ist die Stammfunktion von g und das ist hier f.