Geben Sie alle Stammfunktionen von f'g+g'f und f'(g)g' an. Begründen Sie Ihre Antwort!

Question

Seien f,g : ℝ→ℝ differenzierbare Funktionen. Geben Sie alle Stammfunktionen von

$$f'g+g'f$$

und

$$f'(g)•g'$$

an. Begründen Sie Ihre Antwort!

Answer 1

\(f'g+g'f\) ist die Ableitung von \(f \cdot g \) (Produktregel !)

Also ist \(f \cdot g \) eine Stammfunktion und somit alle gegeben durch

\(f \cdot g + c\) mit c∈ℝ.

Das andere so ähnlich mit der Kettenregel.

Answer 2

Aloha :)

$$\int(f'g+g'f)dx=\int\left(\frac{df}{dx}\,g+f\,\frac{dg}{dx}\right)dx\stackrel{\text{Produktregel}}{=}\int\frac{d(f\cdot g)}{dx}\,dx=f\cdot g+\text{const}$$$$\int f'(g)\cdot g'(x)dx=\int f'(g)\cdot\frac{dg}{dx}\,dx\stackrel{\text{Kettenregel}\atop\text{Substitution}}{=}\int f'(g)\,dg=f(g)+\text{const}$$