Bogenlänge einer Kurve berechnen

Question

Aufgabe:

r(Φ) = 4(2cos(Φ) - sin(Φ))

Berechnen Sie die Bogenlänge zwischen Φ₁ = \( \frac{3}{2} \)π und Φ₂ = 2π.

Problem/Ansatz:

Ich wollte es mit L=\( \int\limits_{Φ1}^{Φ2} \) \( \sqrt{1+ r'(Φ)^2} \) versuchen und bin bis zu

L=\( \int\limits_{Φ1}^{Φ2} \) \( \sqrt{1+ 64sin(Φ)^2 + 64*sin(Φ)*cos(Φ) + 16cos(Φ)^2} \)

gekommen, aber nicht weiter. Oder muss ich vielleicht doch eine andere Formel anwenden?

Vielen Dank schonmal für Eure Hilfe!

Answer 1

Gegeben ist eine Kurve in Polarkoordinaten

r(phi).

Du hast die Formel für die Bogenlänge einer Funktion in kart. Koordinaten y(x) genommen.
Hier gilt eine andere Formel.

Siehe z.B hier:
http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcII/PolarArcLength.aspx

Answer 2

Du solltest schon am Ende auf einen exakten Wert kommen:

\(\tau:= r'(\Phi)= -4 (2 \sin(\Phi) + \cos(\Phi))\)

\(L=\displaystyle\int\limits_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi} \left(\sqrt{1+\tau^2} \right) \, d\Phi\approx 6.237\)

Comments

Du hast doch gar keinen exakten Wert angegeben.