Sigma Algebra : Teilmenge von Omega und F eine Algebra

Question

Hallo Freunde der Mathematik,

diese Aufgabe kriege ich leider nicht hin :(

Sei Ω eine beliebige Menge, Φ eine Teilmenge von Ω und F eine σ-Algebra auf Ω. Begründen Sie, dass dann die Mengenfamilie G := {A ∩ Φ | A ∈ F } eine σ-Algebra auf Φ ist.

Wer kann helfen?

Answer 1

da die leere Menge in F ist, ist sie auch in G. Da ganz Ω in F ist, ist Φ = Φ ∩ Ω in G.

Mit A ist auch das Komplement A^c von A in F. Das heißt, dass sowohl der Schnitt A ∩ Φ als auch der Schnitt A^c ∩ Φ in G liegen. Diese sind zudem auch in G disjunkt.

Damit ist G eine σ-Algebra.

MfG

Mister