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Es gehen 360 Jugendliche an jedem WE in eine der beiden Discos Starplus und Topdance. Von den Starplus-Besuchern wechseln das nächste Mal 50% zu Topdance und 50% kommen wieder. Bei den Topdance-Besuchern wechseln das nächste Mal 40%, der Rest kommt wieder. Wie müssen sich die Jugendlichen verteilen, damit sich jede Woche dieselben Besucherzahlen ergeben?
Mein Ansatz ist auf dem Blatt. Gäbe es einen sinnvolleren Rechenweg und wie interpretiere ich das Ergebnis?

Welche Schritte kommen danach?

Ich würde mich über eine detailreiche Info freuen.15475792179737780056263721253919.jpg

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Hallo Jani,

Dein Ansatz ist richtig. Für einen stabilen Zustand ergibt sich folgendes Gleichungssystem:$$\begin{pmatrix} 0,5 & 0,4 \\ 0,5 & 0,6\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix}$$Du bekommst zwar zwei Gleichungen, aber die besagen beide das gleiche: \(x = 0,8 y\). Mit der Bedingung, dass es insgesamt 360 Jugendliche sind (\(x+y=360\)), kommt man zu Deinem Ergebnis \(x=160\) und \(y=200\).

Das Ergebnis besagt: sollten 160 Jugendliche in das Starplus gehen und 200 in das Topdance, so würde die Anzahl beim nächsten Mal wieder die gleiche sein, da:$$\begin{aligned} x_{i+1} &= 0,5 x_i + 0,4 y_i = 0,5 \cdot 160 + 0,4 \cdot 200 = 160 \\ y_{i+1} &= 0,5 x_i + 0,6 y_i = 0,5 \cdot 160 + 0,6 \cdot 200 = 200\end{aligned}$$

Welche Schritte kommen danach?

keine mehr. Wenn Du vorher definiert hast, dass die Anzahl der Besucher im Starplus \(=x\) und die der Besucher im Topdance \(=y\) ist, dann bist Du fertig.

Wenn noch etwas unklar ist, so frage nochmal nach.

Gruß Werner

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