Zeige, dass es einen Endomorphismus f : K^n → K^n mit U = Ker(f) gibt.

Question

Sei K ein Körper und U ⊂ Kⁿ ein Untervektorraum. Zeige, dass es
einen Endomorphismus f : Kⁿ → Kⁿ mit      U = Ker(f) gibt.

Answer 1

Sei U ein UVR des Kⁿ und \( (u_1,...,u_n)\) eine Basis von U. Der Basisergänzungssatz sagt, es existiert dann eine Basis \(B=(u_1,...,u_n,v_1,...,v_m)\) von V.

Wir definieren f jetzt einfach über eine Darstellungsmartrix:

$$ M^B_B (f) := \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0& E_m\end{pmatrix} $$

mit der mxm Einheitsmatrix \( E_m \)

Der Darstellungssatz sagt nun

$$ f = \Phi_B \circ \widetilde{M^B_B (f)} \circ \Phi_B^{-1} $$

f ist als Komposition linearer Abbildung eine lineare Abbildung. Jetzt muss man nur noch \( \ker f = U \) nachrechnen, aber das ist trivial.

Answer 2

U hat eine Basis B.

B kann zu einer Basis B' von Kⁿ ergänzt werden.

f bilde die Elemente von B auf 0 ab und die Elemente von B'\B auf sich selbst ab.

Dann ist Ker(f) = U.