Bestimmte Integrale symmetrischer Funktionen

Question

Aufgabe:

Gegeben sei eine stetige Funktion f : [−1, 1] → R.

Begründen oder widerlegen Sie folgende Aussage:

$$\int_{a}^{-a} f(x) dx = 0 \rightarrow \text{f ist ungerade }$$

Problem/Ansatz:

Die Aussage ist doch wahr. Das bestimmte Integral über ein zum Ursprung symmetrisches Intervall [−a,a] einer ungeraden Funktion f(x) ist immer null.

Die Lösung unseres Professors ist: "Diese Aussage ist falsch".

Answer 1

Das bestimmte Integral über ein zum Ursprung symmetrisches Intervall [−a,a] einer ungeraden Funktion f(x) ist immer null.

Das stimmt. Als wenn-dann-Aussage formuliert lautet das

        Wenn f ungerade ist, dann ist das Integral von f über [−a,a] 0.

Gefragt ist aber ob

        Wenn das Integral von f über [−a,a] 0 ist, dann ist f ungerade.

gilt. Diese Aussage ist falsch wegen f(x) =  3x² - x - 1, a = 1.

Answer 2

Die Aussage

"f ist ungerade --> ∫ (-a bis a) f(x) dx = 0" ist WAHR

"∫ (-a bis a) f(x) dx = 0 --> f ist ungerade" ist FALSCH

Zumindest wenn hier nur ein bestimmtes a gemeint ist. Wenn es für alle a gilt, dann wäre es wahr. Dann fehlt allerdings der Allquantor oder nicht?

Comments

Ich hab mich mit den Grenzen vertan. Untere Grenze -1, obere Grenze 1.

Danke, ich hab das mit den zwei unterschiedlichen Aussagen verstanden. Jedoch würde mir ein Beispiel zusätzlich weiterhelfen :)

---

Ein Beispiel  steht seit 7 Stundfen in meiner Antwort.

---

Danke oswald. Wie bist du auf das Beispiel gekommen?

---

Ich habe das integral von -1 bis 1 von x² berechnet. Das war 2/3, hat mit nicht gefallen. Also habe ich mit 3 multipliziert, dann ist das Integral 2. Dann habe ich eine lineare Funktion mit integral 2 über [-1, 1] gesucht. Am einfachsten hat die eine Nullstelle bei -1. Dann muss den Funktionswert -2 bei 1 haben.

Answer 3

Ohne eine Information über das a ist das gar

keine Aussage.

Sollte es heißen:

Es gibt ein a∈ℝ für welches das Integral 0 ist,

dann ist die Aussage in der Tat falsch:

Gegenbeispiel f(x) = cos(x) und a=pi.

Was du zitiert hast ist übrigens die Umkehrung der

gegebenen Aussage.