Kurvendiskussion zu f(x) = (1+x)√(1-x^2)

Question

Hallo ich sitze gerade an einer Kurvendiskussion zu folgender Funktion:

$$f(x) = (1+x)\sqrt{1-x^2}$$

Nullstellen und der entsprechende Definitionsbereich ist soweit klar. Ich hänge aktuell an der Bestimmung der Extrema mit:

$$f'(x) = \sqrt{1-x^2}-\frac{x(1+x)}{ \sqrt{1-x^2}}$$ bzw. $$f'(x) = 0$$ . Irgendwie bekomme ich das nicht sinnvoll umgeformt.

Kann mir vielleicht jemand helfen?

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Wenn du den linken Term deiner Ableitung auf einen Nenner mit dem rechten bringen willst, ergibt sich \(\dfrac{\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1-x^2}}-\dfrac{x(x+1)}{\sqrt{1 - x^2}}\)

Durch kürzen erhältst du \(-\dfrac{x(x+1)}{\sqrt{1 - x^2}}\)

Answer 2

Auf dem Hauptnenner sieht deine Ableitung so aus:

(1-x²)/√(1-x²)-(x+x²)/√(1-x²)

Zusammenfassen:

(1-x-2x²)/√(1-x²)

Ein Bruch ist 0, wenn der Zähler 0 ist und der Nenner nicht:

1-x-2x²=0

quadratische Gleichung mit den Lösungen x₁=-1 und x₂=1/2

Die Lösung x₁ entfällt, da hier auch der Nenner 0 ist.