Symmetrische Matrix bestimmen

Question

Bestimmen Sie die symmetrische Matrix A ∈ ℝ, die die folgenden Eigenschaften erfüllt.

·Die Matrix A besitzt den Eigenvektor \( \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \) zum Eigenwert 6.

·Die Matrix A besitzt den Eigenvektor \( \begin{pmatrix} 1\\1\\-2 \end{pmatrix} \) zum Eigenwert 9.

·Die Matrix A hat die Spur 4.

A = \( \begin{pmatrix} ? & ? & ? \\ ? & ? & ? \\ ? & ? & ? \end{pmatrix} \)

Answer 1

Die Spur ist die Summe der Eigenwerte, d.h. der dritte Eigenwerte ist -11. Ein zugehõriger Eigenvektor steht senkrecht auf den beiden vorgegebenen, z.B. (1 -1 0)^T. Es gilt$$A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&-1\\1&-2&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}6&0&0\\0&9&0\\0&0&-11\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&-1\\1&-2&0\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}-2&9&-1\\9&-2&-1\\-1&-1&8\end{pmatrix}.$$