Bijektivität von f : ℂ → ℂ, z → z zeigen

Question

Aufgabe:

$$f : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}  , z \rightarrow \overline{z}$$
Zeigen sie, dass f bijektiv ist

Problem/Ansatz:

Ich habe damit begonnen die Definitionen \( z = a + bi\) und \( \overline{z} = a - bi\) aufzuschreiben und die Definition von bijektiv als injektiv und surjektiv.

Dann die Definition der Injektivität allgemein als $$f(a) = f(b) \Rightarrow a = b$$ und diese dann hierauf angewendet als

$$f(z) = f(\overline{z}) \Rightarrow z = \overline{z}$$

Dann habe ich es eingesetzt und umgestellt

$$ a + bi = a - bi | :i \\ a + b = a - b | - a \\ b = -b $$

Jetzt müsste ich ja das z in f(z) ersetzen, also \( f(a + bi) = f(a-bi) \) und damit zu einem Schluss kommen, dass z und $$\overline{z}$$ unter diesen Bedingungen gleich sein müssen.

Vom Sinn her verstehe ich eindeutig, dass in diesem Fall z und \( \overline{z} \) gleich sein müssen, nur der Beweis fällt mir noch schwer.

An der Stelle kann es ja nicht getan sein, mag mir jemand auf die Sprünge helfen?

Answer 1

z und z(konjugiert) sind in der gaußschen Zahlenebene Spiegelbider jeweis  voneinander an der Realachse. Achsenspiegelungen sind bijektive Abbildungen zwischen Bild und Urbild.

Comments

wenn man die Punkte auf der Achse weglässt !

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Ja, das ist richtig.

Answer 2

f(a+bi )=  f( c+di)

<=>  a-bi = c - di

<=> (a-c) + ( d-b) * i

==>  a=c und d=b also f Injektiv.

und surjektiv; denn jedes z besitzt

ein konjugiertes, und davon das konjugierte ist wieder z.

Comments

f(3) = f(5)?

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Hast recht, das war Quatsch.

Answer 3

Ich glaube, du bist mit den Definitionen etwas durcheinander gekommen.

\( f \text{ ist injektiv wenn gilt: } f(a+b\cdot i) = f(a' + b'\cdot i) \text{ nur dann wenn gilt: } a+b\cdot i = a'+b'\cdot i.\)

Das kannst du jetzt nachrechnen, und es gilt also \(a+ (-b)\cdot i = a' + (-b')\cdot i \implies (a = a') \land (-b = -b'). \implies (a = a') \land (b = b') \implies (a+b\cdot i) = (a'+b'\cdot i)\text{ nach Eindeutigkeit von Realteil und Imaginärteil in den komplexen Zahlen}.\)

Alternativ:

Die Abbildung \(f\) ist in Wirklichkeit eine lineare Abbildung von reellen Vektorräumen  \(\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2\), und sie ist gegeben durch die Matrix \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\). Du berechnest ganz einfach, dass \(\det(f) = -1\neq 0\) und folgerst daraus, dass f bijektiv sein muss. Das funktioniert natürlich nur, wenn du über einige Vorkenntnisse in der linearen Algebra verfügst.

LG