Rotationskörper Ellipsoid

Question

Aufgabe:

$$\begin{array} { l } { \text { Durch die Rotation der Fläche unter dem Graphen von } f ( x ) = \sqrt { 2 x - \frac { x ^ { 2 } } { 4 } - \frac { 7 } { 4 } } \text { zwischen } } \\ { \text { den beiden Nullstellen des Ausdrucks unter der Wurzel um die } x \text { -Achse ergibt sich ein } } \\ { \text { Ellipsoid. Bestimmen Sie sein Volumen. } } \end{array}$$

~draw~ ellipse(4|0 6 2);zoom(8) ~draw~

Problem/Ansatz:

Die Nullstellen hab ich berechnet (1 und 7), nur bin ich mir nicht zu 100% sicher, ob ich wie folgt auch fortfahren muss bzw. das schlüssig ist. Nehme ich das hier als Integralfunktion:

$$\int\limits_{1}^{7} \left( \sqrt { 2 x - \frac { x ^ { 2 } } { 4 } - \frac { 7 } { 4 } } \right) ^ { 2 } d x$$

Dadurch komme ich letztendlich nach der Stammfunktion auf:

π * [x/12 (-x² + 12x - 21)]⁷₁

Wenn ich damit fortfahre und π * [7/12 (-7²+12*7-21) - (1/12 (-1² + 12 -21))] reche, komme ich letztendlich auf 776/12*π.

Ich bin mir jetzt nicht sicher, ob das so auch stimmt? Meine Rechenwege kann ich leider nicht abfotografieren, weil die zu chaotisch sind. :D Wenn ich aber noch mehr Schritte zeigen soll, falls das nicht reicht, kann ich das machen.

Stimmt das denn soweit?

Answer 1

Das ist bis zur Stammfunktion fehlerfrei, aber es kommt 9π heraus.

Comments

Ah, ich hatte einen Vorzeichendreher drin. :) Dann hab ich es jetzt auch.