Teleskopsumme: Berechnen Sie den Wert der Reihe mit den Summanden 1/(n^2 + 4n + 3)

Question

Aufgabe:

Berechnen sie den Wert der Reihe:

\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n^{2}+4n+3}} \)

Problem/Ansatz:

Ich vermute dass diese Reihe irgendwie zur geometrischen Reihe umgeformt werden muss um damit dann den Wert der Reihe zu bestimmen. Über Partialbruchzerlegung oder Linearfaktorzerlegung bin ich schon auf folgende Darstellungsvarianten der Reihe gekommen:

\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{(n+1)(n+3)}} \)

oder:

1/2*\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{(n+1)}} \) - 1/2*\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{(n+3)}} \)

doch leider komme ich nicht auf irgend einen Wert oder eine passende Umformung. Habt ihr eine Idee?

Vielen Dank schon mal!

Answer 1

$$\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{(n+3)}}$$

$$=\sum\limits_{n=2}^{\infty}{\frac{1}{(n+1)}}$$

Nun kannst du die Differenz vereinfachen.

...

Comments

Danke für die schnelle Antwort!

Ich habe dann folgendes da stehen:  1/2 \( \sum\limits_{n=2}^{\infty}{\frac{1}{n+1}} \) - 1/2 \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n+1}} \) . Aber wie rechne ich das jetz aus? ich stehe irgendwie auf dem Schlauch.

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umgekehrt. "Meine Summe" ist der zweite Term

Dann

= 1/2 * 1/(0+1) + 1/2 * 1/(1+1)

= 1/2 + 1/4

= 3/4

Answer 2

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+1%2F(n%5E2%2B4n%2B3)+from+0+to+infinit