+1 Daumen
15,8k Aufrufe

Reihenaufgabe:

Es geht um:

1.) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4 n^{2}-1} \)

2.) \( \sum \limits_{n=3}^{\infty} \frac{2^{n-2}}{4^{n+1}} \)

Ich denke ich muss beide Reihen entweder in geometrische oder harmonische Form bringen, oder?

----

Vom Duplikat: Teleskopsumme und Indexverschiebung

Aufgabe:

Man soll den Grenzwert von \( \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{4 k^{2}-1} \) berechnen. Er ist laut diverser Hilfsmittel -1.

Doch ich komme nicht auf die -1. So bin ich vorgegangen:

1. Binomische Formel und Partialbruchzerlegung angewandt

2.Summen auseinandergeschrieben

3.Indexverschiebung

Doch bei Punkt 3, funktioniert das ganze leider nicht mehr. Das steht bis jetzt da:

\( \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{4 k-2}-\sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{4 k+2} \)

Wenn man jetzt rechts, den Index um 1 erhöht, steht der linke Ausdruck da.

\( \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{4 k-2}-\sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{4(k-1)+2} \)

Da links jetzt alles bis auf k=0 wegfällt, dürfte das ja mein Grenzwert sein.

ABER: 1/4*0-2 = -0.5 Und das ist ja nicht richtig. Kann mir jemand sagen, was falsch ist?

von

Vom Duplikat:

Titel: Summe der Reihe berechnen

Stichworte: reihen

Aufgabe:

Berechnen Sie die Summe der Reihe:

\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{4n^2-1}} \)


ich weiß nicht genau, wie man hier vorgehen soll.

Schon mal danke!

3 Antworten

+1 Daumen
 
Beste Antwort


zu 1. Betrachte die \(N\)-ten Partialsummen$$\sum_{n=1}^N\frac1{4n^2-1}=\frac12\sum_{n=1}^N\left(\frac1{2n-1}-\frac1{2n+1}\right)=\frac12\left(1-\frac1{2N+1}\right).$$Bestimme nun den Grenzwert für \(N\to\infty\).

Zu 2.$$\sum_{n=3}^\infty\frac{2^{n-2}}{4^{n+1}}=\sum_{n=0}^\infty\frac{2^{n+1}}{4^{n+4}}=\sum_{n=0}^\infty\frac{2\cdot2^n}{4^4\cdot4^n}=\frac1{128}\cdot\sum_{n=0}^\infty\left(\frac12\right)^n=\frac1{64}.$$
von

Wieso kannst du bei 1.) das 1/2 im 2. Schritt herausziehen?

Jeder Summand enthält \(\frac12\) als konstanten Faktor. Den kann man ausklammern.
Ich verstehe die Zerlegung in die Partialsummen nicht so ganz. Magst du das nochmal ein wenig detallierter darstellen?
@Kickflipp: Summen wie bei 1. nennt man gelegentlich Teleskopsumme, da man 'zusammenschieben' kann.
+1 Daumen

Da ist nichts falsch, das Ergebnis \( -1 \) ist falsch.

von 37 k

mhmmm...Also erstmal danke ullim, dass du mir andauernd hilfst.

Dann werd Ich das mal todesmutig so lassen....,

damit scheint es keine brauchbaren Online Tools für Grenzwertberechnungen von Reihen zu geben.

0 Daumen

$$1/(4n^2-1)=1/2 *[1/(2n-1)-1/(2n+1)]$$

Überlege dir nun, warum es sich um eine Teleskopreihe handelt.

von 37 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community