0 Daumen
10,3k Aufrufe

Wie zeige ich, dass die Reihe ∑(von n=1 bis ∞) = 1/(4n2-1) konvergiert und wo ihr Grenzwert liegt?

Als Hinweis bekamen wir: Sei können zum Beispiel die ersten 5 Partialsummen bestimmen uns daraus eine Vermutung für eine explizite Formel für die Partialsumme ableiten. Diese Formel müssen sie dann mit vollständiger Induktion herleiten.

Avatar von
Dann befolge mal euren Tipp.
Vielleicht läuft deine Aufgabe auf eine Teleskopsumme raus, da
1/(4n^2 - 1) = 1/((2n+1)(2n-1)) könntest du das umschreiben auf
1/(4n^2 -1) = A/(2n+1) + B/(2n-1)

Wie man so eine reihe berechnet ,wird bei www.MathematikGrenzwerteBerechnen.ao.ei.com sehr schoen erklert.                                   

 

ach, uebrigens: wenn etwas schief gehehen kann, dann geht's schief...

1 Antwort

+1 Daumen

Befolge den Tipp und berechne die ersten 5 Partialsummen s1 bis s5:

s1 = 1 / 3

s2 = s1 + ( 1 / 15 ) = ( 1 / 3 ) + ( 1 / 15 ) = 6 / 15 = 2 / 5

s3 = s2 + ( 1 / 35 ) = ( 2 / 5 ) + ( 1 / 35 ) = 15 / 35 = 3 / 7

s4 = s3 + ( 1 / 63 ) = ( 3 / 7 ) + ( 1 / 63 ) = 28 / 63 = 4 / 9

Nun, da vermute ich mal, dass s5 = 5 / 11 ist ...

s5 = s4 + ( 1 / 99 )  = ( 4 / 9 ) + ( 1 / 99 )  = 45 / 99 = 5 / 11

Scheint also zu stimmen. Allgemein scheint also für die n-te Partialsumme sn zu gelten:

sn = n / ( 2 n + 1 )

Beweis durch VI:

Induktionsanker:

Für n = 1 gilt: s1 = 1 / ( 4 * 1 2 - 1 ) = 1 / 3 = 1 / ( 2 * 1 + 1 )

Induktionsvoraussetzung:

Für ein festes n gelte:

sn = n / ( 2 n + 1 )

Induktionsbehauptung:

Dann gilt für n + 1:

sn+1 = ( n + 1 ) / ( 2 ( n + 1 ) + 1 ) = ( n + 1 ) / ( 2 n + 3 )

Induktionsschritt:

$${ s }_{ n+1 }={ s }_{ n }+\frac { 1 }{ 4({ n+1) }^{ 2 }-1 }$$Induktionsvoraussetzung benutzen:$$=\frac { n }{ 2n+1 } +\frac { 1 }{ 4({ n+1) }^{ 2 }-1 }$$$$=\frac { n }{ 2n+1 } +\frac { 1 }{ 4n^{ 2 }+8n+3 }$$$$=\frac { n }{ 2n+1 } +\frac { 1 }{ (2n+1)(2n+3) }$$$$=\frac { n(2n+3) }{ (2n+1)(2n+3) } +\frac { 1 }{ (2n+1)(2n+3) }$$$$=\frac { 2{ n }^{ 2 }+3n+1 }{ (2n+1)(2n+3) }$$$$=\frac { (2n+1)(n+1) }{ (2n+1)(2n+3) }$$$$=\frac { (n+1) }{ (2n+3) }$$

q.e.d.

Also ist gezeigt, dass die explizite Formel für die n-te Partialsumme sder in der Aufgabenstellung genannten Reihe lautet:

sn = n / ( 2 n + 1 )

Der Grenzwert G dieser Reihe ist daher:

G = limn->∞ sn

= limn->∞ n / ( 2 n + 1 )

= limn->∞ 1 / ( 2 n / n + 1 / n  )

= 1 / ( 2 + 0 )

= 1 / 2

Avatar von 32 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community