Totales Differential: Wie in der Anwendung?

Question

Aufgabe:
Berechnen Sie unter Verwendung des totalen Differentials die Oberflächenänderung ∆ ≈ d eines
Zylinders mit Boden und Deckel mit Radius = 10 und Höhe ℎ = 25, wenn sich der Radius um
5% vergrößert und gleichzeitig die Höhe um 2% verkleinert. Vergleichen Sie den Näherungswert mit
dem exakten Wert.

Problem/Ansatz:

Ich habe tierische Schwierigkeiten in dieser Aufgabe den richtigen Ansatz zu finden. Vielleicht kann mir jemand von euch dabei helfen diese Aufgabe richtig zu lösen?
Ich bedanke mich im Voraus für eure Hilfen! :-)
Mfg

Answer 1

die Oberfläche eines Zylinders ermittelst Du mit 2*π*r^2+2*π*r*h= 2*π*r*(r+h)

die Oberflächenänderung misst Du folgendermaßen:

der Radius ist größer um 0,5 cm: dr = 10.5

die Höhe verkleinert sich um 0,5 cm : dh= 24.5 cm

ΔO (r,h) ≈ O ( r+dr, h +dh) - O (r,h) = ...

hier die entsprechenden Werte einsetzen und die Oberflächenänderung ermitteln! (hier hast Du die exakten Differenzen der Oberfläche).

Über das totale Differential erfolgt eine lineare Näherung (Approximation) und sollte ungefähr dem exakten Wert von oben entsprechen.

Du rechnest:

dO/dr=... hier leitest Du die gegebene Fkt. O in Abhängigkeit von r partiell ab.

dO/dh = ... hier leitest Du die gegebene Fkt. O in Abhängigkeit von h partiell ab.

dO= dO/dr (dr=hier im Nenner für Ableiten von O nach r) * dr (hier steht das dr für die 10.5) + dO/dh (dh= hier im Nenner für Ableiten von O nach h) * dh (hier steht das dh für die 24.5 cm ) = ....