Unabhängige Zufallsvariablen mit Gleichverteilung

Question

Aufgabe:

Seien X und Y zwei unabhängige Zufallsvariablen mit Gleichverteilung 1,2,3,4,5,6. Definiere Z = \( \begin{pmatrix} X falls X gerade \\Y falls X ungerade \end{pmatrix} \)

Bestimmen Sie E(Z) 

Problem/Ansatz:

Mir liegt die Lösung vor, jedoch kann ich Sie nicht ganz nachvollziehen. Der Erwartungswert ist klar gegeben durch die Formel: E(Z) = \( \sum\limits_{k=1}^{6}{k*P(z=k)} \). Nun kommt als Ergebnis folgendes raus: 

= 1 * 1/12 + 2 * 1/6 + 3 * 1/12 + 4 * 1/6 + 5 * 1/12 + 6 * 1/6

= 9/12 + 12/6 = 33/12 = 2.75 

Nun ist mir nicht klar, wie man auf die Wahrscheinlichkeiten kommt, also z.B. P(Z=1) = 1/12. Kann mir das vielleicht jemand erklären? Vielen Dank vorab!

Answer 1

Damit Z = 1 ist, muss X ungerade sein und Y = 1 sein.

P(Z = 1) = P(X ∈ {1,3,5} ∧ Z = 1) = P(X ∈ {1,3,5}) · P(Z = 1) = 1/2·1/6 = 1/12.

Wenn Z = 4 ist, dann ist X gerade oder Y = 4.

P(Z = 4) = P(X=4) + P(X ∈ {1,3,5} ∧ Y = 4) = 1/6 + 1/2·1/6 = 1/4.

Comments

Hallo Oswald, vielen Dank für die Rückmeldung! Aber ich verstehe noch nicht so ganz, warum X und Y nur den Wert 1 annehmen? Da steht ja: Z = X falls X ungerade. Bspw. berachten wir mal 3, müsste dann nicht Z = 3, da X = 3 und ungerade gelten? Ich hoffe du verstehst was ich meine.

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Aber ich verstehe noch nicht so ganz, warum X und Y nur den Wert 1 annehmen?

Wie bist du auf die Idee gekommen, dass X und Y nur den Wert 1 annehmen?

berachten wir mal 3,

Können wir ja mal machen. Wenn du mir aber nicht sagst, welche Zufallsvariable den Wert 3 haben soll, ist da aber ziemlich nutzlos.

Ich hoffe du verstehst was ich meine.

Ich habe es nicht verstanden.