Ich habe mal ein wenig gelesen und mich an der Aufgabe probiert. Da war allerdings auch viel Neues für mich dabei, daher keine Garantie auf Richtigkeit:
a)
Soweit ich sehe, benötigst du die Faltungsformel (https://de.wikipedia.org/wiki/Faltung_(Stochastik)):
Mit \(\quad f_X(x) = \begin{cases} 1\quad , 0\le x\le1\\0\quad , sonst \end{cases} = \chi_{[0;1]}(x)\quad\) und \(\quad f_{-Y}(x) = \begin{cases} 1\quad , -1\le x\le 0\\0\quad , \text{sonst} \end{cases} = \chi_{[-1;0]}(x)\quad\), wobei \(\chi\) die Indikatorfunktion ist (auch andere Schreibweisen sind üblich [https://de.wikipedia.org/wiki/Indikatorfunktion]), ergibt sich mit der Faltungsformel:
$$ f_{X-Y}(x)=f_{X+(-Y)}(x)=\int_{-\infty}^{\infty}{f_X(s)\cdot f_{-Y}(x-s)ds} = \dots = \begin{cases} 1+x \quad &, -1\le x \le 0 \\ 1-x &, 0 \lt x\le 1 \\ 0 &, sonst \end{cases} $$
Dann die Verteilungsfunktion mittels Integration oder mittels Skizze und Geometrie bilden:
$$F_{X-Y}(x)=\int_{-\infty}^x {f_{X-Y}(s)ds} = \dots = \begin{cases} 0 &, x\le-1 \\ \frac{1}{2}x^2+x+\frac{1}{2} &, -1 \lt x\le 0\\ -\frac{1}{2}x^2+x+\frac{1}{2} &, 0 \lt x \le 1 \\1 &, sonst \end{cases} $$
b)
$$ \begin{aligned}F_{|Z|}(x)=P(|Z|\le x)&=\begin{cases} P(-x\le Z\le x) &, x \ge 0 \\ 0 &, sonst \end{cases} \\ &= \begin{cases} P(Z\le x) - P(Z\le -x)&, x\ge 0 \\ 0 &, sonst \end{cases} \\ &= \begin{cases} F_Z(x) - F_Z(-x)&, x\ge 0 \\0 &, sonst \end{cases} \end{aligned}$$
c)
Einsetzen der Ergebnisse von (a) in das Ergebnis von (b) und Vereinfachen liefert:
$$F_{|X-Y|}(x) = \begin{cases} 0 &, x \lt 0 \\-x^2+2x &, 0 \le x \le 1 \\ 1 &, sonst \end{cases} $$
Jetzt nur noch die maximale Wartezeit einsetzen:
$$F_{|X-Y|}\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{7}{16}$$
Beide Personen treffen sich mit einer Wahrscheinlichkeit von \(\frac{7}{16}\).
