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Aufgabe:

Meine Aufgabe ist es alle komplexen Lösungen der Gleichung  z^2 + 24 + 10*i = 0 zu finden.


Problem/Ansatz:

Mein Ansatz wäre es umzuschreiben in z^2 = -24 -10i.

Dann z^2 umzuwandeln in (x^2 -y^2) + 2xyi.

Und dies dann in ein nicht-linares Gleichungssystem einzuführen

        1.  x^2 - y ^2 = -24

        2. 2xy = -10

Leider komm ich ab diesem Punkt nicht mehr weiter :(

Freue mich auf eine Antwort :D

von

1 Antwort

+2 Daumen
 
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1.  x^2 - y ^2 = -24

 2. 2xy = -10

Erste Variante. Faktorisieren und vereinfachen:

1.  (x-y)(x+y) = -24

 2. xy = -5

Nun systematisch probieren. Du erwartest zwei Lösungspaare (x,y) und findest diese sofort.

[spoiler]

-5 = - (1 * 5)

Nun die 1. Gleichung ansehen. Sowohl ( x=1 und y = -5 )  als auch (x=-1 und y = 5) passt bei 1.

Kontrolle mit:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E2+-+y+%5E2+%3D+-24++,+2xy+%3D+-10

Skärmavbild 2019-02-01 kl. 15.51.30.png

[/spoiler]

Zweite Variante: Einsetzmethode:

1.  x^2 - y ^2 = -24

2. 2xy = -10  ==> y = -5/x einsetzen in 1.

x^2 - ((-5)/x)^2 = - 24         | * x^2

x^4 - 25 = - 24x^2

x^4 + 24x^2 - 25 = 0.  | Faktorisieren oder z = x^2 substituieren und eine quadratische Gleichung lösen.  

Die blaue Methode dauert länger, führt aber sicher zum Ziel.

Faktorisieren ist schneller, wenn du im Kopf gut rechnest.

von 147 k

Boah, Vielen Dank!!

Sehr gut erklärt :)

Bitte. Gern geschehen!

Rechne das aber unbedingt noch selbst durch.

Hab ich gemacht und passt alles :D

Jetzt häng ich bei der nächsten Aufgabe fest, weil ich nicht weiß, wie man die Wurzel aus -24 - 10 i zieht :(

wie man die Wurzel aus -24 - 10 i zieht :(

Löse die Gleichung z^2 = -24 - 10i.

Alternative: Quadriere die beiden Resultate der obigen Aufgabe und staune.

[spoiler]

( 1 - 5i)^2 = 1 - 2* 5i + 25i^2 = -10i - 24

(-1 + 5i)^2 = 1 + 2*(-1)*5i + 25i^2 = -10i - 24

Somit sind die Wurzeln von -24 - 10i die Zahlen z_1= 1 - 5i und z_2 = -1 + 5i.

Danke, werd ich versuchen :)

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