Gesucht sind u.a.die Lösungen erster Dreieckszahl der Form T=a!/b!
Gesucht sind a)die a!/b! Lösungen dazu(u.ob diese Lös.ggf.nicht diskret sind)u.
b)ob die Annahme,dass die Dreiecksz.,die der Form T=a·(a+1)·(a+2) sind(solche Zahlen sind immer 6n)eine Teilmenge der T=a/b!sind,stimmen könnte.Die ersten 4 Dreiecksz.dieser Art liefern die Lös. 6!=3!/1!=1·2·3 120=6!/3!=3·4·5 210=7!/4!=5·6·7 990=11!/8!=9·10·11... Interessanterweise stellt nächste dieser Zahlen die größste dar,die zugleich Dreiecks-u.Tetraederzahl sein kann,7140.Ferner kann man sich fragen,ob diese Art Dreieckz.immer ausschließl.mit den Ziff.0 oder 6 enden.Betrachtet man die stets≡ 0 mod 6 Dreieckszahlen der Form T=a!/b! modulo 4!(weil die Faktoren 2,3 und 4 die längste Folge aufeinanderfolg.Zahlen darst.,die keine echten Teiler der Form 6n±1 haben (die Primen > 3 sind der Form 6n±1)werden alle vier mögl.(kleinsten)6er Kongruenzen,0,6,12,18,gelief..7140 ist unter den T=a!/b!,b < a-1,die erste,die nicht der Form T=a·(a+1)·(a+2)ist.
EDIT: Kopie aus Kommentar:
Dreieckszahlen der Form T=a·(a+1)·(a+2) lassen sich generell wie die Zahlen der Form n·(n+1)·(n+2) mit (n+2)! / (n-1)! darstellen. Die erste Dreieckszahl, die nicht zugleich das Produkt 3er aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist und sich in der Form (n+2)! / (n-1)! darstellen läßst, ist die 119.Dreieckszahl 7140, die zugleich die 34.Tetraederzahl ist und daher das durch 6 geteilte Produkt der drei aufeinanderfolgende Faktoren 34,35,36 darstellt (das Produkt dieser drei aufeinanderfolgenden Zahlen läßst sich also mit 36! / 33! bilden). Da Dreieckszahlen der Form T=a·(a+1)·(a+2) durch 6 geteilt Tetraederzahlen liefern und die 6 selbst Faktultät ist, fällt der Fall 7140 auf [nota: zudem gehört diese Dreieckszahlen zu denen, die halbiert wieder Dreieckszahlen sind]. Nächste Dreieckszahlen nach 7140, die der Form T= a!/b!, aber nicht der Form T=n·(n+1)·(n+2) sind, lauten 185136,242556,2162160,8239770.Kleiner 1 Trillion sind folgende fünf Dreieckszahlen der Form T=n·(n+1)·(n+2), 6,120,210,990,258474216. Kann jemand die T= a!/b! Lösungen 7140,185136,242556, 2162160, 8239770 benennen? Und sind diese gegebenfalls diskret? (Soweit mir bekannt, sind die Lösungen nur durch Ausrechnen zu finden).