Kurvendiskussion. Schachtel aus einem Stück Pappe ... zuende rechnen.

Question

Hallo wir hatten im Unterricht so eine Aufgabe mit einem Kasten und dann mussten wir die Extremstellen ausrechnen, doch ich bin hier stecken geblieben, denn ich habe das komplett ausgerechnet (siehe pq formel) und ja die Aufgabe lautet: Aus einem rechteckigen Stück Pappe soll eine oben offene Schachtel mit möglichst großem Volumen gebaut werden. Könntet ihr vielleicht meinen Ansatz zu Ende rechnen, damit ich diese Aufgabe nachvollziehen kann? Wäre sehr nett

Comments

Möchtest du eventuell versuchen diesen Weg durchzurechnen: 

https://www.mathelounge.de/3207/maximales-volumen-ermitteln-eine-nach-oben-offene-schachtel 

?

Warum hörst du denn jetzt eigentlich einfach auf? 

Nimm deine beiden x-Werte und bestimme die übrigen gesuchten Grössen.

Sollte bei einem eine Strecke negative Länge haben, könntest du den Fall dann ausschliessen. 

Deine Zielfunktion ist ein Polynom 3. Grades. Wenn du 2 Nullstellen der Ableitung findest, ist automatisch eine eine Maximalstelle und die andere eine Minimalstelle. Der Funktionswert an der Maximalstelle ist grösser als der an der Minimalstelle. So erkennst du zweifelsfrei die lokale Maximalstelle. 

Answer 1

wenn du V '(x) =  12·x² - 204·x + 630   noch einmal ableitest, erhältst du  V ''(x) = 24·x - 204 

V '' (4,06) = -106.56  < 0  →  x = 4,06 ist eine Maximalstelle.

Dein Kasten hat also einen maximalen Rauminhalt V, wenn du an allen Ecken jeweils ein Quadrat  mit der Kantenlänge x = 4,06 cm herausschneidest und die überstehenden Rechtecke nach oben klappst.

Gruß Wolfgang

Comments

Danke sehr:-) heißt es dass bei dem negativen Ergebnis ein Hochpunkt vorliegt?

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ja, an einer Nullstelle von f '  bei negativem f ''

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Danke und wie merke ich , dass man es in die 2 Ableitung einsetzen muss um den anderen Wert zu ermitteln? Weil ich würde die errechneten Werte in die Ursprungsfkt. Einsetzen ( was wohl falsch ist :S )

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Das merkst du nicht, das musst du bei der Berechnung von Extremwerten wissen.

Beim Einsetzen in die  Ursprungsfunktion V(x) erhältst du dann das tatsächliche maximale Volumen.

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Muss man das dann immer so machen? Also dann das Ergebnis in die 2te Ableitung setzen?

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Ja in der tat. Das macht man immer so.

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-106,56 was hat das dann auszusagen? (Sorry für die Frage hatten das nie im Unterricht gemacht)

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Wenn die zweite Ableitung an der Stelle x0 kleiner als Null (also negativ) ist, erkennt man daran, dass an dieser Stelle ein Maximum der Funktion vorliegt.

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Okay aber müsste ich dann nicht theoretisch die 12,96 nicht auch in die 2te Ableitung einsetzen? Sodass ich dann also den tiefpkt. Habe? (Ich weiß ich suche den Hochpunkt, aber sollte man das nicht so machen?)

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Ja das sollte man so machen. 

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Okay gut das hat mich alles verwirrt.. also dh. Wenn ich eine Kurvendiskussion durchführe dann bestimmw ich zuerst den Definitions& Wertebereich, dann die Nullstellen mit f(x)=0 , dann die lokale Extrema f'(x)=0 und die rausgekriegten X Werte in die Funktion von f''(x) einsetzen , um die Y Werte zu ermitteln, und dann die Wendepunkte bestimmen mit f''(x)=0 und die X Werte in die Ursprungsfkt. Einsetzen, um die Y Werte zu ermitteln ist das richtig so?

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"dann die lokale Extrema f'(x)=0 und die rausgekriegten X Werte in die Funktion von f''(x) einsetzen , um die Y Werte zu ermitteln"

Das stimmt noch nicht ganz. Du setzt die ermittelten möglichen extremstellen in die zweite Ableitung ein, um herauszufinden ob es sich um minima oder Maxima handelt. Wenn du das getan hast, kann du die Funktionsweise dazu ausrechnen indem du die extremstellen in die ausgangsfunktion einsetzt.

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Dankeschön , ja stimmt für die extrempkt. Gibt es eine notw. Und eine hinr. Bedingung sowie für die Wendepkt , wäre das mit dem Kulli geschriebene so richtig (also Formal) gäbe es dafür die volle Punktzahl? Oder müsste man dort etwas ändern?

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Hmm, gefällt mir nicht hundertprozentig. Zum einen verstehe ich nicht, warum du nach der Berechnung der extremstellen sofort die Funktionswerte dazu ausrechnest. Die brauchst du an der Stelle nicht. Bei der zweiten Ableitung gefällt mir nicht,  dass du nur die Ergebnisse hinschreibst anstatt, die stellen in die zweite Ableitung einzusetzen und auszurechnen. Man sieht nicht was du gerechnet hast. Grundsätzlich würde ich an deiner stelle die Punkt-Schreibweise P (.../....) nur für für das aufschreiben der Funktionswerte benutzen und nicht Funktionswerte der ersten und zweiten Ableitungen so aufschreiben. Meines Erachtens kannst du da eher schnell durcheinander kommen.

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Ich habe mir eben ein video angeschaut und jetzt sehe ich wie man das aufschreibt und ich merke ich mache mich selbst durcheinander haha ich werde das noch ändern vielen dank:)