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Hi Leute.hab bisher nur extremwertprobleme für Flächeninhalte gelöst.Nun hab ich Schwierigkeiten mit einer Aufgabe bzgl des maximalen Werts vom Volumen.Wie sollte ich hier am einfachsten vorgehen? Aufgabe 8

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aus Duplikat:

Wie kann ich diese Klammer auflösen bitte in schritten erklären danke

V(x) = (16-2x) * (10-2x) *x

- - - - - -

jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer "ausmultiplizieren": 

(160 -32x-20x+4x^2) * x  

 = (160-52x +4x^2) *x

= 160x -52x^2 + 4x^3

Avatar von 86 k 🚀
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Mach dir eine Formel, die das Volumen in Abhängigkeit von x beschreibt.

Das ist hier wohl   (16-2x)*(10-2x) für die Bodenfläche und x für die Höhe der Schachtel,

also Volumen   v(x) = (16-2x)*(10-2x)*x

jetzt Klammern auflösen, Ableitung bilden etc. um das Maximum zu bestimmen.

Avatar von 287 k 🚀
Danke dir :)was kommt am ende bei Dir raus? Möchte nur überprüfen ob es übereinstimmt 

Es sollte eigentlich x=2 cm rauskommen: Vgl. 

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%2816-2x%29+*+%2810-2x%29+*x

Bild Mathematik

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Die Grundseiten der Schachtel sind  16-2x und 10-2x, die Höhe x.

Für das Volumen gilt also  V(x) = (16-2x) * (10-2x) *x

Das musst du ausmultiplizieren und dann mit Hilfe der Ableitungen der Funktion V(x) das Maximum bestimmen.


Dein Ergebnis ist richtig!

Avatar von 86 k 🚀

Könntest du mir bitte kurz erklären wie du die Klammer aufgelöst hast?

V(x) = [16*10 -16*2x -2x*10 - 2x*(-2x)]*x

= [160 - 32x -20x +4x2]*x

=160x - 52x2 + 4x3

V'(x) = 12x2-104x +160

x2 - 104/12 x + 160/12 = 0

PQ Formel:

x1,2= 104/24 ± √(104/24)^2-160/12)

x1,2 =13/3 ± 7/3

x1 = 6/3 = 2

x2 = 20/3

x2 geht nicht, daher x1 = x = 2 ist die Lösung.

V(2) = (16-4) * (10-4) * 2 = 144

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Länge: 16-2*x, da 2mal x weggeschnitten wird.
Breite: 10-2*x
Höhe: x

 VQuader = l*b*h

 alles in VQuader einsetzen: 

=> V = (16-2*x)(10-2*x)*x | ausmultiplizieren
=> V = 160x-32x2-20*x2+4*x3
=> V= 4*x3-52*x2+160 | 1. Ableitung =>Extrempunkt
=> V'(x)=12x2-104x | gleich 0 setzen
=> 0=3x2-26x | Nullstellen berechnen
 x=0 und x=26/3.

Das größte Volumen ist also bei x=26/3 erreicht!

Avatar von 3,6 k

=> V = 160x-32x2-20*x2+4*x3
=> V= 4*x3-52*x2+160x | 1. Ableitung =>Extrempunkt
=> V'(x)=12x2-104x+160 | gleich 0 setzen

Dann kommt auch 2 raus !

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Höhe der Schachtel: x

Breite der Schachtel: 10-2x

Länge der Schachtel: 16-2x

Alles Klar? Sonst weiterfragen.

Avatar von 123 k 🚀
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Zielfunktion f(x)=(16-2x)*(10-2x)*x

also f ' (x) = 12x^2 - 104x + 160Ich bekomme für f ' (x) = 0 heraus:

x=20/3   oder   x=2 .

Jetzt musst du noch schauen, wo ein Max bzw. Min ist.

Avatar von 287 k 🚀

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