Aufgabe:
Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für f(x) = x2*ex gilt: f(n)(x) = (x2+2nx+n(n-1))ex.
Problem/Ansatz:
ich weiß leider nicht wie ich nach dem Induktionsanfang weiter komme, habe für n=1 folgendes raus:f1(x) = 2x*ex+ex *x2 bzw. = (2x+x2)ex
Wie genau gehe ich jetzt weiter vor?
ich habe auch mal was sowas gemacht und das meinen Lehrer gefragt und der meinte, dass man das in dem Fall so machen kann, dass man die "n+1"te Ableitung bildet und man dann dies ableitet und die n-te Ableitung zu erhalten. Ergo, du setzt für "n" "n+1" ein.
Wenn du dann das gegebene Ergebnis hast, stimmt die Aussage.
Gruß
Smitty
Leite die Formel für f(n)(x) =(x2+2nx+n(n-1))ex aus der Induktionsvoraussetzung erneut ab (natürlich wieder mit Produktregel) und zeige, das die dabei erhaltene Ableitung genau die selbe Form hat wie
f(n+1)(x) = (x2+2(n+1)x+(n+1)((n+1)-1))ex.
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