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Aufgabe:

Wir sollen per vollständiger Induktion zeigen, dass
k=1n(1)nkk2=n(n+1)2 \sum \limits_{k=1}^{n}(-1)^{n-k} k^{2}=\frac{n(n+1)}{2} . Ich finde meinen Fehler einfach nicht. Kann mir jemand weiterhelfen?

Problem/Ansatz:

1. IA n=1 n=1
k=11(1)1112=1=22=1(1+1)2 \sum \limits_{k=1}^{1}(-1)^{1-1} \cdot 1^{2}=1=\frac{2}{2}=\frac{1(1+1)}{2}
2.
k=1n+1(1)n+1kk2=(n+1)(n+2)2 gelte fu¨r beliebiges,  \sum \limits_{k=1}^{n+1}(-1)^{n+1-k} k^{2}=\frac{(n+1)(n+2)}{2} \text { gelte für beliebiges, }
aber festes nN n \in \mathbb{N} .
3.
(1)(n+1)(n+1)(n+1)2+k=1n(1)nkk2=IA(n+1)2+n(n+1)2=(n+1)(n+2)2? \begin{array}{l} (-1)^{(n+1)-(n+1)}(n+1)^{2}+\sum \limits_{k=1}^{n}(-1)^{n-k} k^{2} \\ \stackrel{IA}{=}(n+1)^{2}+\frac{n(n+1)}{2}=\frac{(n+1)(n+2)}{2} ? \end{array}

Hier steht auf den beiden Seiten der Gleichung nicht das Gleiche. Wo liegt das Problem?

Dankeschön und LG :)

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Beste Antwort

In der Summe im IS muss n+1 n+1 stehen, weil das n n eine feste Zahl ist.

k=1n+1(1)n+1kk2=(1)n+1(n+1)(n+1)2+k=1n(1)n+1kk2\sum\limits_{k=1}^{n+1} (-1)^{n+1-k}k^2=(-1)^{n+1-(n+1)}(n+1)^2+ \sum\limits_{k=1}^{n} (-1)^{n+1-k}k^2 .

Avatar von 21 k

Jetzt hat's geklappt! Vielen Dank :)

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