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Ist die Mathematik eine menschliche Erfindung oder eine allumfassende, dem Universum innewohnende Logik, die wir erst nach und nach entdecken? Die Suche nach der Antwort auf diese Frage kommt nicht an folgender Tatsache vorbei:

Alles, was wir über unsere Welt, das gesamte Universum und auch die Mathematik wissen, beruht auf unserer Wahrnehmung dessen, was uns umgibt sowie auf  Denkergebnissen unseres Gehirns, welche überwiegend von unseren Wahrnehmungen angeregt werden. Nehmen wir einmal an, wir hätten sowohl die Facettenaugen als auch das Gehirn eines Insektes. Wir lebten dann nicht in der Welt, von der wir glauben, dass es die Wirklichkeit unserer Umgebung ist. Ganz sicher kommt die Mathematik in ihrer vollen Entfaltung in der Weltsicht eines Insektes nicht vor.

Das führt zu dem Schluss,  dass es nur eine subjektive Wirklichkeit gibt und dass für den Menschen mit seinem Wahrnehmungsapparat und seinem Gehirn die Mathematik Teil dieser Wirklichkeit ist. So hat der Mensch zum Beispiel die Fähigkeit, Gemeinsamkeiten ganz verschiedener Objekte zu formulieren. Drei Kühe, drei Aktentaschen, drei Blätter. Die gemeinsame Eigenschaft dieser Mengen ist ihre Mächtigkeit „drei“. Die Zahlen sind in diesem Sinne einerseits eine Erfindung des Menschen (soweit es um die sie bezeichnenden Worte und deren Zeichen geht) aber gleichzeitig natürlich dieser Welt bereits innewohnend. Drei Kühe, drei Aktentaschen und drei Blätter gibt es auch ohne das Denken des Menschen. Man kann sogar sagen, dass die Dreiheit selbst nirgends in der Welt existiert, wohl aber unzählig viele Mengen mit je drei Elementen. Die Entdeckung der Gemeinsamkeit „drei“ dieser Mengen ist eine Denkleistung des menschlichen Gehirns (eine Abstraktionsleistung) und die Darstellung dieser Gemeinsamkeit als Zeichen eine Erfindung (historisch gesehen gab es da ganz unterschiedliche Erfindungen).

Viele in der Natur auftretende Muster scheinen universellen mathematischen Algorithmen zu folgen. Die Fibonacci-Folge beispielsweise ist eine Zahlenfolge, die rätselhafterweise in der Natur immer wieder Entsprechungen findet, etwa in der Anzahl von Blütenblättern verschiedener Blumen. Dabei war die Entdeckung der Fibonacci-Folge nicht das Ergebnis einer Naturbeobachtung, sondern eines etwas absurden Gedankenexperimentes: Zu Beginn gibt es ein Kaninchenpaar, das aber im ersten Monat noch nicht geschlechtsreif ist. Danach bringt es jeden Monat genau ein Paar zur Welt, das ebenfalls im ersten Lebensmonat noch nicht geschlechtsreif ist und anschließend, wie seine Eltern, monatlich ein neues Paar zur Welt bringt. Und dies wiederholt sich Generation für Generation. Die Anzahl so entstandener Kaninchenpaare in den ersten sechs Monaten entwickelt sich folglich so: 1, 2, 3, 5, 8, 13. Im siebten Monat sind die 13 Paare aus dem sechsten Monat noch vorhanden und die 8 Paare des fünften Monats bringen ein Neues Paar zur Welt. Jeden Monat wiederholt sich dieser Ablauf, sodass immer die Summe der Kaninchenzahlen aus den beiden Vormonaten die Anzahl der Kaninchen im aktuellen Monat ist. Im Fruchtstand einer Sonnenblume lassen sich nun gebogene Furchen erkennen, die Rechtskurven oder Linkskurven beschreiben.

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Zählt man die Anzahl der Rechtskurven und getrennt davon die Anzahl der Linkskurven, so erhält man zwei aufeinanderfolgende Zahlen aus der Fibonacci-Folge 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … Demnach kommt eine ursprünglich nur im Denken von Fibonacci vorhandene Folge tatsächlich in der Natur vor. Das wäre auch ohne Fibonaccis phantasievolle Kreation so gewesen.

Ist also Mathematik das Ergebnis eines Denkprozesses oder wohnen die Ergebnisse von Denkprozessen dieser Welt inne, auch wenn sie niemand denkt? Vermutlich ja, aber wir wissen es nicht. Seit der griechischen Antike ist die unbestreitbare Universalität und Effizienz der Mathematik ein Quell philosophischer und metaphysischer Fragen. Woher kommt die Mathematik – und wie kommt es, dass sie die von uns wahrgenommene Welt so perfekt erklärt?

Vermutlich hängen Wahrnehmung und Denkergebnisse auf Grund dieser Wahrnehmungen in besonderer Weise zusammen. Wir denken, was wir wahrnehmen (z.B. das Weg-Zeit-Gesetz des freien Falls) und wir nehmen wahr, was wir denken (z.B. eine Teilfolge der Fibonacci-Folge im Fruchtsand der Sonnenblume). So gesehen ist es vorstellbar, dass dieser Welt noch viel mehr Mathematik innewohnt, die wir deshalb noch nicht wahrgenommen haben, weil wir noch nicht daran gedacht haben. Aus diesem Grunde wird die Mathematik dauernd durch Entdeckungen erweitert. Dabei kann nur etwas entdeckt werden, was es schon gab, also dieser Welt bereits innewohnte. Andernfalls sprechen wir von Erfindungen. Auch Erfindungen können das Feld der Mathematik erweitern.

Ist das Dezimalsystem eine Erfindung oder eine Entdeckung? Zur Beantwortung dieser Frage müssen wir etwas ausholen. Das Dezimalsystem bietet eine Darstellungsmöglichkeit von Zahlen, die sich in besonderer Weise zur Operation mit Zahlen eignet. Das gilt für jedes Stellenwertsystem. Die Basis 10 entstand auf der Basis einer Beobachtung (fast jeder Mensch hat 10 Finger). Das Operieren mit Zahlen ist ein Bedürfnis des Menschen, das sich hauptsächlich aus dem sozialen Miteinander ergeben hat – also in Folge von Wahrnehmung. Auch mit Zahldarstellungen ohne Stellenwertsystem konnten die Menschen operieren. Dies geschah durch Verdoppeln und Halbieren – zwei dem Denken des Menschen sehr naheliegende Elementaroperationen. Auch moderne Rechenautomaten greifen auf diese Elementaroperationen zurück. Das binäre System existierte historisch betrachtet in Form der Operationen Verdoppeln und Halbieren bereits lange vor der Schöpfung des Dezimalsystems. Damit waren Stellenwertsysteme bereits Teil dieser Welt, bevor sie im Dezimalsystem eine Spezialisierung fanden. Das Dezimalsystem ist folglich eine Entdeckung.

Und noch etwas: Die zentrale Frage der Erkenntnistheorie: "Was können wir eigentlich sicher wissen?", muss im ersten Zugriff mit "Nichts" beantwortet werden. Aber man kann auch anders an die Sache herangehen: Es gibt  Zeichen, also "Dinge" die etwas bezeichnen und Zeichensysteme, also Regeln und Methoden zur korrekten Verwendung dieser Zeichen. Wir alle kennen Zeichen in Form von Buchstaben und Wörtern und Regeln ihrer Verwendung in Form von Grammatik und Rechtschreibung. Und es gab schon sehr früh Zeichen für Zahlen sowie Regeln für das Operieren mit Zahlen. Wir wissen, dass weder die Darstellungsmittel (Zeichen) noch die Darstellungssysteme (Zeichensysteme) fixiert sein können, sondern stets aufs Neue zu prüfen und zu verbessern sind. Dann ist Erkenntnisentwicklung die Weiterentwicklung der den Erkenntnissen zugrunde liegenden Darstellungssysteme. In der Semiotik hat Peirce an dieser Stelle den Begriff des "diagrammatischen Schließens" geprägt.  Eine Wahrnehmung wird in die Sprache der Mathematik übersetzt und dann nach den Regeln eines innerhalb der Mathematik liegenden Darstellungssystems transformiert (d.h. umgeformt oder in anderer Darstellung repräsentiert) bis etwas entsteht, das wir bereits kennen (als wahr anerkennen). Nachdem die mathematische Darstellung einer Beobachtung gefunden ist, interessiert die Wirklichkeit der Beobachtung den Mathematiker nicht mehr. Er macht ohnehin nur Wenn-Dann-Aussagen: Wenn alle Voraussetzungen (der Wahrnehmung oder des Denkens) zutreffen, dann ist auch der daraus abgeleitete Sachverhalt wahr.

Insofern führt die Verschmelzung der Disziplinen ‚Mathematik‘, ‚Informatik‘, ‚Naturwissenschaft’ und ‚Technik‘, wie es das Kofferwort „MINT“ nahelegt, hinsichtlich der Frage, ob die Mathematik erfunden oder per se Teil dieser Welt sei, in die Irre. Die Mathematik bezieht zwar ihre Anregungen aus den genannten Disziplinen und hilft dabei, Fragestellungen aus diesen Disziplinen zu beantworten, aber die Darstellungen und Zeichen der Mathematik sowie die Regeln ihrer Logik existieren auch unabhängig von den anderen Disziplinen. Die Mathematik ist ein Konstrukt des menschlichen Geistes und insofern eine Erfindung, die sich allerdings hervorragend eignet, um die der Welt und dem Universum innewohnende Logik zu entdecken, zu beschreiben und zu begründen. Punktuell (z.B. beim Dezimalsystem) können Darstellungen sowie Regeln ihrer Weiterverarbeitung aber auch Entdeckungen sein. Einige Rechengesetze (etwa die Kommutativgesetze der Addition und der Multiplikation) können bereits von Grundschülern entdeckt werden. Damit sind Denkvoraussetzungen entdeckt, die später zu weiteren Entdeckungen oder auch Erfindungen herangezogen werden können.

Es gibt aber auch Denkvoraussetzungen, die der Mensch erst erfinden musste und die per se nicht Teil der Realität dieser Welt sind. Dafür ist das Differential ein gutes Beispiel: unendlich kleine Größen gibt es nicht wirklich. Der Mathematiker erfindet hier Objekte seines Denkens mit dem Ziel einer Herleitung von Begriffen wie ‚Steigung‘ oder ‚krummlinig begrenzte Fläche‘. Da diese beiden Begriffe etwas Reales bezeichnen, ist es schwierig, das Differential als begründend anzuerkennen.


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