[Ausklammern] ( n(n+1) (2n+1) + 6(n+1)2 ) / 6 ==> ( (n+1) (n+2) (2n+3) ) / 6 // verstehe letzte Klammer nicht

Question

Aufgabe:

Folgender Ausdruck: $\frac{n*(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2}{6} = \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$

Problem: 

Was sind die Rechenschritte, um auf der rechten Seite die Klammer (2n+3) zu erhalten?

Ich hab schon versucht, durch Ausmultiplizieren auf diesen Term zu kommen, aber ich glaube dass mich auch dabei irgendwie vertue...

Ich rechne:
(n+1) (2n+3)
= 2n² + 3n + 2n + 3
= 2n² + 5n + 3

Würde ich in der letzten Zeile $(n + 1)$ ausklammern, müsste doch (2n+3)  übrig bleiben? Oder gehe ich falsch vor?

// hab's mit Hilfe gelöst... 

$\frac{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2}{6}$
$= \frac{ (n+1) (n(2n+1)) + 6(n+1) } { 6 }$
$= \frac{ (n+1) (2n^2+n)) + 6n+6) } { 6 }$
$= \frac{ (n+1) (2n^2+n + 6n+6) } { 6 }$
$= \frac{ (n+1) (2n^2+7n+6) } { 6 }$
$= \frac{ (n+1) (2n^2+3n + 4n+6) } { 6 }$
$= \frac{ (n+1) (n(2n+3) + 2(2n+3) } { 6 }$
$= \frac{ (n+1) (n+2) (2n+3) } { 6 }$

Answer 1

$\begin{aligned} & n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)+6\left(n+1\right)^{2}\\ = & \left(n+1\right)\left(n\left(2n+1\right)+6\left(n+1\right)\right)\\ = & \left(n+1\right)\left(2n^{2}+n+6n+6\right)\\ = & \left(n+1\right)\left(2n^{2}+7n+6\right)\\ = & \left(n+1\right)\left(2\left(n^{2}+\frac{7}{2}n+3\right)\right)\\ = & \left(n+1\right)\left(2\left(n+\frac{3}{2}\right)\left(n+2\right)\right)\\ = & \left(n+1\right)\left(2n+3\right)\left(n+1\right) \end{aligned}$

Auf die Faktorisierung

        $n^{2}+\frac{7}{2}n+3=\left(n+\frac{3}{2}\right)\left(n+2\right)$

kommt man indem man die Gleichung

        $n^{2}+\frac{7}{2}n+3=0$

löst.

Comments

Und diese Gleichung n² + 7/2n + 3 = 0 rechne ich wohl mit der pq-Formel aus?

Ich muss das für eine Klausur aber ohne Taschenrechner hinbekommen... :-/

Danke trotzdem! :)