reelle Folgen angeben, sodass die Folge beschränkt, aber nicht konvergent ist

Question

Hi,

kann folgende Aufgabe nicht lösen (weiß nicht, wie ich es machen muss).

 

Gebe Beispiele reeller Folgen (a_n)_n∈ℕ und (b_n)_n∈ℕ mit lim a_n = ∞ und lim b_n = 0 an, so dass die Folge (a_nb_n)_n∈ℕ ist beschränkt, aber nicht konvergent.

 

So das ist die Aufgabe. Wäre nett, wenn auch eine kurze Erklärung zu Konvergenz erfolgen würde (verstehe es nämlich nicht so).

 

Vielen Dank

Answer 1

solche Folgen sind durch

\( a_n = n \) und

\( b_n = (-1)^n \frac{1}{n} \)

gegeben. Das Produkt

\( a_n b_n = (-1)^n \)

ist beschränkt, aber nicht konvergent.

MfG

Mister

PS: Wenn du das genauer verstehen willst, kannst du die Folgen auch in einem Koordinatensystem skizzieren (es handelt sich um Punktfolgen).

Comments

Danke zunächst einmal für die tolle Antwort.

Wollte nur noch wissen, wie du auf b_n = (-1)ⁿ • 1/2 kommst.

 

Danke.

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\( (-1)^n \) ist als alternierende Folge einfach die einfachste nicht-konvergente Folge, die zudem als Produkt mit jeder nichtalternierenden Folge dieser die Alternierungs-Eigenschaft vererbt.