Question

Zeigen Sie mit vollständiger Induktion

| n∑ j=1  xj | ≤ n∑ j=1 |xj| ; n≥1

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Um die gegebene Ungleichung $\left| \sum_{j=1}^{n} x_j \right| \leq \sum_{j=1}^{n} |x_j|$ zu beweisen, verwenden wir die Methode der vollständigen Induktion.

Induktionsanfang (n = 1):

Wenn $n = 1$, dann reduziert sich die Ungleichung auf $\left| x_1 \right| \leq |x_1|$, was offensichtlich wahr ist, da die absolute Wert-Funktion $| \cdot |$ immer nicht-negativ ist. Damit ist der Induktionsanfang bewiesen.

Induktionsannahme:

Nehmen wir an, dass die Ungleichung für ein beliebiges $n = k$ wahr ist, d.h.,

$\left| \sum_{j=1}^{k} x_j \right| \leq \sum_{j=1}^{k} |x_j|$

Induktionsschritt (n = k + 1):

Wir müssen zeigen, dass die Ungleichung auch für $n = k + 1$ wahr ist, das heißt:

$\left| \sum_{j=1}^{k+1} x_j \right| \leq \sum_{j=1}^{k+1} |x_j|$

Wir wissen aus der Induktionsannahme, dass

$\left| \sum_{j=1}^{k} x_j \right| \leq \sum_{j=1}^{k} |x_j|$

Um die Gültigkeit für $n = k + 1$ zu zeigen, betrachten wir:

$\left| \sum_{j=1}^{k+1} x_j \right| = \left| \sum_{j=1}^{k} x_j + x_{k+1} \right|$

Wir nutzen die Dreiecksungleichung $\left| a + b \right| \leq \left| a \right| + \left| b \right|$, um fortzufahren:

$= \left| \sum_{j=1}^{k} x_j + x_{k+1} \right| \leq \left| \sum_{j=1}^{k} x_j \right| + \left| x_{k+1} \right|$

Nun können wir die Induktionsannahme einsetzen:

$\leq \sum_{j=1}^{k} |x_j| + |x_{k+1}|$

Dies vereinfacht zu:

$\sum_{j=1}^{k} |x_j| + |x_{k+1}| = \sum_{j=1}^{k+1} |x_j|$

Damit haben wir gezeigt, dass wenn die Ungleichung für $n = k$ wahr ist, sie auch für $n = k + 1$ wahr ist.

Fazit:

Durch den Induktionsanfang und den erfolgreichen Induktionsschritt haben wir gezeigt, dass die Ungleichung

$\left| \sum_{j=1}^{n} x_j \right| \leq \sum_{j=1}^{n} |x_j|$

für alle natürlichen Zahlen $n \geq 1$ wahr ist.