Prüfen Sie, ob die nachstehenden Folgen beschränkt oder monoton oder konvergent oder unbeschränkt

Question

Aufgabe

Prüfen Sie, ob die nachstehenden Folgen beschränkt oder monoton oder konvergent

oder unbeschränkt wachsend bzw. fallend sind:

a₁=1 ,  a_n+1=√( 2+a_n) 

Answer 1

Hi,

die Folge ist streng monoton wachsend und beschränkt. Beweis durch Induktion.

Beschränktheit

$$ a_{n+1} = \sqrt{2+a_n} \le 2  $$ falls \( a_n \le 2 \)

Monotonie

$$ a_{n+2} = \sqrt{2+a_{n+1}} >\sqrt{2+a_{n}} = a_{n+1}  $$ falls \( a_{n+1} > a_n \) gilt

Der Grenzwert ist dann 2 als Lösung der Gleichung

$$ a = \sqrt{2+a}  $$