aus einer Folge die relle Zahl a bestimmen

Question

Sei (a_n)_n∈ℕ Konvergent mit lim_n→∞ a_n = a und a_n+1 a_n-2 = a_n+3 + a_n+4 - 1   für n>2.

Berechne die reelle Zahl a.

 

Ich weiß nicht, wie ich das genau machen soll. Würde mich über einen Rechenweg freuen.

Danke.

Answer 1

Nun,

a_n+1 a_n-2 = a_n+3 + a_n+4 - 1

<=> a_n+1 = (a_n+3 + a_n+4 - 1) / a_n-2

<=> a_n = (a_n+2 + a_n+3 - 1) / a_n-3

Laut Voraussetzung gilt:

lim _{n -> ∞} a_n = a

also:

lim _{n -> ∞} (a_n+2 + a_n+3 - 1) / a_n-3 = a

 

Da nun aber wegen lim _{n -> ∞} a_n = a sämtliche a_i in diesem Ausdruck für n -> ∞ gegen a gehen, kann man also schreiben:

lim _{n -> ∞} (a_n+2 + a_n+3 - 1) / a_n-3 = ( a + a - 1 ) / a = a

<=> ( 2 a - 1 ) = a ²

<=> a ² - 2 a + 1 = 0

<=> ( a - 1 ) ²  = 0

<=> a - 1 = 0

<=> a = 1