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Aufgabe:

Folgenden Ausdruck als Summenformel formulieren:

\( \frac{1}{1(1+1)} + \frac{1}{2(2+1)} + ... + \frac{1}{n(n+1)} = \frac{n}{n+1} \)

...und Aussage beweisen.


Ansatz:

\( A(n): \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = \frac{n}{n+1} \)


Ind-Anfang: für n = 1

\( \frac{1}{1(1+1)} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2} = \frac{n}{n+1} = \frac{1}{2}\)   // gilt

Ind-Schritt:

z.Z. dass A(n) → A(n+1) für alle n € N gilt.

so dass \( \sum_{n=1}^{n+1} \frac{1}{k ( k + 1) }  = \frac{n+1}{(n+1)+1} = \frac{n+1}{n+2} \)

\( \sum_{n=1}^{n+1} \frac{1}{k ( k + 1) }  = \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} + \frac{1}{(n+1)(n+1+1)} \)

\( =_{i.A.}  \frac{n}{n+1} + \frac{1}{(n+1)(n+2)}  \)              // einsetzen der i.A.

\( = \frac{n}{n+1} + \frac{1(n+1)} {n+2}  \)

\( = \frac{n}{n+1} + \frac{n+1} {n+2}  \)

Und hier weiß ich nicht weiter...

der 2. Summand hat bereits die Form die ich brauche.

EDIT: Fehlende Klammerpaare um die Nenner in der Überschrift ergänzt. 

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1 Antwort

+1 Daumen

Die drittletzte Zeile deines Beweises ist richtig. Dann auf den Hauptnenner (n+1)(n+2):

[n(n+2)+1]/[(n+1)(n+2)]= (n2+2n+1)/[(n+1)(n+2)]=(n+1)2/[(n+1)(n+2)]=(n+1)/(n+2) Was zu beweisen war.

Avatar von 123 k 🚀

Alles klar. Ich wusste nicht wie ich beide Terme vereinige....
Zähler vom 1. Bruch mit dem Ausdruck im Nenner des 2. Bruches per Multiplikation erweitern...

macht Sinn.

Hab noch eine kleine Korrektur (2) eingefügt.

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