Vollstaendige Induktion für Summenformel. Summieren von k=0 bis n-1 (n+k)(n-k)

Question

Ich soll folgende Formel per Induktion beweisen:

\( \sum \limits_{k=0}^{n-1}(n+k)(n-k)=\frac{n(n+1)(4 n-1)}{6} \)

Nach dem Induktionsschritt n → n+1 erhalte ich:

\( \sum \limits_{k=1}^{n}(n+(k-1))(n-(k-1))=\frac{(n+1)(n+2)(4 n+3)}{6} \)

Forme ich das nun wieder um (hier bin ich mir nicht sicher):

\( \sum \limits_{k=1}^{n-1}(n+k)(n-k)+(n+(k-1))(n-(k-1)) \)

was ja nichts anderes ist, als meine ursprüngliche Summenformel mit k=0 bis n-1.

Ich kann das Summenzeichen also nicht aufloesen. Faellt das k ueberhaupt weg? Kann mir jemand einen richtigen Ansatz für den Induktionsschritt sagen?

Answer 1

Die Indexverschiebung ist hier fehl am Platz. Die Induktionsbehauptung ist: $$\sum_{k=0}^n (n+1+k)(n+1-k) =\frac{(n+1)(n+2)(4n+3)}{6}$$ (jedes n wird durch n+1 ersetzt, sonst passiert nichts.)

Comments

Allerdings scheiter ich immernoch am Schritt danach. Ich möchte ja wieder zu meiner Ausgangsformel kommen:

\( \sum \limits_{k=0}^{n-1}(n+k)(n-k)=\frac{n(n+1)(4 n-1)}{6} \)

was addiere ich zu der linken Summe, damit ich dasselbe hab wie

∑k=0 bis n von (n+1+k)(n+1−k)

Normalerweise addiere ich denselben Ausdruck und ersetze das k mit (n+1), nur funktioniert das nicht.

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$$\sum_{k=0}^n (n+1k)(n+1-k)=(n+1)^2 \sum_{k=1}^n (n+1+k) (n+1-k)=(n+1)^2 +\sum_{k=0}^{n-1}(n-k)(n+k+2)= (n+1)^2 +\sum_{k=0}^{n-1}(n-k)(n+k) +\sum_{k=0}^{n-1} 2(n-k)$$

Auf den mittleren Teil wenden wir die I.V. an, auf den letzten Teil Gauß: $$=(n+1)^2+\frac{n(n+1)(4n-1)}{6} +2n^2-n(n+1) =(n+1)^2+\frac{n(n+1)(4n-1)}{6} +n(n+1)=(n+1)\frac{(6n+6)+4n^2-n+6n}{6}=\frac{(n+1)(n+2)(4n+3)}{6}$$