Folgende Aufgabe habe ich denke ich ausreichend gelöst.
Ich möchte gerne wissen, ob mein Rechenweg bzw. die Begründung ganz am Ende ausreichen oder verbessert werden sollten.
Aufgabe:
zeige für alle n € N dass gilt: 5∣3n+1+23n+1
Problem/Ansatz:
Ind.-Anfang:
für n = 1: 31+1+23∗1+1=3∗3+23∗2=9+16=25 ✅
Ind.-Schritt:
zeige für alle n € N, dass A(n+1) gilt, d.h. 5∣3n+1+1+23(n+1)+1 unter der Ind.-Annahme A(n).
Durch Umformen:
3n+1+1+23(n+1)+1
=3n+1+1+23n+3+1
=3n+1+1+23n+1+3
=(3n+1∗3)+(23n+1∗23)
Da sowohl für 3n+1 als auch 23n+1 nach i.A. ∣5 gilt, sind diese Ausdrücke auch multipliziert mit 3 bzw. 8 durch 5 teilbar.
Damit gilt A(n) für alle n € N.
Habe ich die Aufgabe so ausreichend gelöst? Was kann ich besser machen?