Für welche der folgenden linearen Abbildungen f: R3 → R3 existiert eine lineare Abbildung f¯ : R3/U ⟶ R3 mit f = f¯∘p?

Question

Aufgabe:

Sei U = ⟨\( \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} \)⟩ ⊆ R³ und p: R³ → R³/U die kanonische Projektion.
Für welche der folgenden linearen Abbildungen f: R³ → R³ existiert eine lineare Abbildung f¯ : R³/U ⟶ R³ mit f = f¯∘p ?
a) f: \( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) → \( \begin{pmatrix} x-y\\z\\0 \end{pmatrix} \)

b) f: \( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) → \( \begin{pmatrix} x+z\\-y\\x-y \end{pmatrix} \)

c) f: \( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) → \( \begin{pmatrix} z\\4y-4x\\z \end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz:

Für a) z.b. muss ja gelten, falls die Abb. f¯ existiert:
f (\( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \)) = \( \begin{pmatrix} x-y\\z\\0 \end{pmatrix} \) = f¯(\( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \)+U) = \( \begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix} \)+U

falls (x=z und y=0) oder (-y=z und x=0):  \( \begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix} \) ∈ U

Weiter muss c=0 sein.
Also bleibt noch:
\( \begin{pmatrix} x-y\\z\\0 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} a\\b\\0 \end{pmatrix} \)+U = f¯(\( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \)+U)

Weiter bin ich mir unsicher, stimmt es zumindest bis hierhin was ich gemacht habe?
Könnte mir jemand einen tipp geben?

Mit freundlichen Grüßen